
\subsection{Analyse a priori }    
Cet exercice met en oeuvre les propriétés d’une configuration simple de l’espace d’une part et
des règles de la perspective cavalière. \\
L’assemblage de trois cubes pleins permet à un groupe d’élèves de mettre en oeuvre
différentes propriétés de parallélisme et d’orthogonalité de l’espace.  \\

Dans une première étape, il est souhaitable de compléter cette représentation en traçant les
pointillés des lignes non visibles de cette configuration et de nommer les points des sommets
des cubes.  \\
Pour cette représentation en perspective cavalière, différentes démarches sont possibles.
 
\begin{enumerate}
    \item Tracés de parallèles.\\
    (OA) est perpendiculaire au plan horizontal, le projeté de $[OA]$ est $[oa]$, la direction de
    projection est $(oa)$. On utilise les directions de $(oa)$ et de $(Aa)$ pour tracer les images des bords verticaux de ce solide.   \\
    La conservation du parallélisme et des milieux, par la projection, permet de vérifier les
    différents tracés.  
    \item Tracés des images des milieux de segments.
\end{enumerate}
\newpage 
\subsection{Éléments de solution} 
Sur le dessin, sont notés, au fur et à mesure, les points utiles aux tracés, en premier, les
sommets des trois cubes. Les points projetés sont notés en minuscules ;
De $B$ on trace la parallèle à $(Aa)$ qui coupe la parallèle à $(oa)$ passant par $N$ en $b$.
Les autres points sont construits de la même manière. \\
Des vérifications sont réalisées en utilisant les milieux, par exemple : $d$ est le milieu de $[pe]$ car $D$ est le milieu de $[PE]$ .\\

Remarque : Les points $O, N, M, L, K, P$ et $O$ coïncident avec $o, n, m, l, k, p$ et $o$. \\

\textbf{Conclusion : L’ombre de ce solide, sur le bureau est l’intérieur du polygone $(oabqefglmno)$.}
\par
\vspace{3cm}  
\definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
\definecolor{wwwwww}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
\begin{tikzpicture}[scale=1.7][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(0.54,-0.64) rectangle (11.65,6.78);
\fill[color=wwwwww,fill=wwwwww,fill opacity=0.1] (4.27,0.13) -- (6.27,0.13) -- (6.54,0.35) -- (8.3,-0.12) -- (10.3,-0.12) -- (11.07,0.5) -- (4.54,2.23) -- (3,1) -- (1,1) -- cycle;
\draw [line width=1.2pt] (1,3)-- (3,3);
\draw [line width=1.2pt] (3,3)-- (3,1);
\draw [line width=1.2pt] (3,1)-- (1,1);
\draw [line width=1.2pt] (1,1)-- (1,3);
\draw [line width=1.2pt] (1,3)-- (1.77,3.62);
\draw [line width=1.2pt] (1.77,3.62)-- (3.77,3.62);
\draw [line width=1.2pt] (3,3)-- (3.77,3.62);
\draw [line width=1.2pt] (3.77,3.62)-- (4.54,4.23);
\draw [line width=1.2pt] (3,1)-- (3.77,1.62);
\draw [line width=1.2pt] (3.77,1.62)-- (4.54,2.23);
\draw [line width=1.2pt] (4.54,2.23)-- (4.54,4.23);
\draw [line width=1.2pt] (3.77,1.62)-- (3.77,3.62);
\draw [line width=1.2pt] (1.77,3.62)-- (1.77,5.62);
\draw [line width=1.2pt] (1.77,5.62)-- (2.54,6.23);
\draw [line width=1.2pt] (2.54,6.23)-- (4.54,6.23);
\draw [line width=1.2pt] (4.54,6.23)-- (3.77,5.62);
\draw [line width=1.2pt] (3.77,5.62)-- (3.77,3.62);
\draw [line width=1.2pt] (4.54,6.23)-- (4.54,4.23);
\draw [line width=1.2pt] (1.77,5.62)-- (3.77,5.62);
\draw (1,1)-- (4.27,0.13);
\draw [dash pattern=on 4pt off 4pt] (2.54,6.23)-- (2.54,2.23);
\draw (2.54,2.23)-- (1,1);
\draw [dash pattern=on 4pt off 4pt] (1.77,3.62)-- (1.77,1.62);
\draw [dash pattern=on 4pt off 4pt] (2.54,2.23)-- (4.54,2.23);
\draw [line width=1.2pt,dotted] (1,3)-- (4.27,0.13);
\draw [line width=1.2pt,dotted] (3,3)-- (6.27,0.13);
\draw [line width=1.2pt,dotted] (1.77,5.62)-- (8.3,-0.12);
\draw [line width=1.2pt,dotted] (3.77,5.62)-- (10.3,-0.12);
\draw [line width=1.2pt,dotted] (4.54,6.23)-- (11.07,0.5);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (3,1)-- (6.27,0.13);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (3.77,1.62)-- (10.3,-0.12);
\draw (4.54,2.23)-- (11.07,0.5);
\draw (10.3,-0.12)-- (11.07,0.5);
\draw (8.3,-0.12)-- (10.3,-0.12);
\draw (6.27,0.13)-- (6.54,0.35);
\draw (4.27,0.13)-- (6.27,0.13);
\draw (6.54,0.35)-- (8.3,-0.12);
\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (1.77,1.62)-- (6.54,0.35);
\draw [dotted] (4.54,4.23)-- (7.8,1.36);
\draw [dotted] (2.54,6.23)-- (9.07,0.5);
\draw [line width=0.4pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (2.54,2.23)-- (9.07,0.5);
\draw [color=wwwwww] (4.27,0.13)-- (6.27,0.13);
\draw [color=wwwwww] (6.27,0.13)-- (6.54,0.35);
\draw [color=wwwwww] (6.54,0.35)-- (8.3,-0.12);
\draw [color=wwwwww] (8.3,-0.12)-- (10.3,-0.12);
\draw [color=wwwwww] (10.3,-0.12)-- (11.07,0.5);
\draw [color=wwwwww] (11.07,0.5)-- (4.54,2.23);
\draw [color=wwwwww] (4.54,2.23)-- (3,1);
\draw [color=wwwwww] (3,1)-- (1,1);
\draw [color=wwwwww] (1,1)-- (4.27,0.13);
\draw [dash pattern=on 4pt off 4pt] (1.77,3.62)-- (2.54,4.23);
\draw [dash pattern=on 4pt off 4pt] (2.54,4.23)-- (4.54,4.23);
\draw [dotted] (3.77,3.62)-- (7.03,0.75);
\fill [color=black] (1,3) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (0.86,3.19) node {$A$};
\fill [color=black] (3,3) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.97,3.23) node {$B$};
\fill [color=black] (3,1) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.02,0.8) node {$N$};
\fill [color=black] (1,1) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (0.8,0.95) node {$O$};
\fill [color=black] (1.57,7.52) circle (0.5pt);
\fill [color=black] (1.77,3.62) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.57,3.74) node {$D$};
\fill [color=black] (3.77,3.62) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.91,3.43) node {$C$};
\fill [color=black] (3.77,1.62) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.53,1.74) node {$M$};
\fill [color=black] (4.54,4.23) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (4.69,4.17) node {$J$};
\fill [color=black] (4.54,2.23) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (4.66,2.39) node {$L$};
\fill [color=black] (3,8) circle (0.5pt);
\fill [color=black] (3.77,5.62) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (3.75,5.84) node {$F$};
\fill [color=black] (1.77,5.62) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.65,5.81) node {$E$};
\fill [color=black] (4.54,6.23) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (4.68,6.39) node {$G$};
\fill [color=black] (2.54,6.23) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.54,6.46) node {$H$};
\fill [color=black] (4.27,0.13) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (4.21,-0.11) node {$a$};
\fill [color=black] (1.77,1.62) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (1.6,1.72) node {$P$};
\fill [color=black] (2.54,2.23) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (2.33,2.34) node {$K$};
\fill [color=black] (6.27,0.13) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (6.33,-0.06) node {$b$};
\fill [color=black] (8.3,-0.12) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (8.33,-0.26) node {$e$};
\fill [color=black] (10.3,-0.12) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (10.38,-0.24) node {$f$};
\fill [color=black] (11.07,0.5) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (11.19,0.65) node {$g$};
\fill [color=black] (6.54,0.35) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (6.59,0.22) node {$q$};
\fill [color=black] (9.07,0.5) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (9.19,0.65) node {$h$};
\fill [color=black] (7.8,1.36) circle (1pt);
\draw[color=black] (7.65,1.29) node {$j$};
\fill [color=uququq] (2.54,4.23) circle (0.5pt);
\draw[color=uququq] (2.33,4.35) node {$I$};
\fill [color=black] (7.03,0.75) circle (0.5pt);
\draw[color=black] (6.95,0.68) node {$c$};
\fill [color=uququq] (5.03,0.75) circle (1pt);
\draw[color=uququq] (5,0.99) node {$d$};
\end{tikzpicture}
