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%D\'{e}finition de la mise en page
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%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATHÉMATIQUE DE FRANCHE-COMTÉ}

\smallskip
\textbf{Éléments de solutions de la finale 2009}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

Les classes de Troisième doivent résoudre les problèmes 1 à 6.

Les classes de Seconde doivent résoudre les problèmes 4 à 9.

La classe doit rendre une seule réponse par problème traité \textbf{en expliquant la démarche}.


\medskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

%\hspace{-2cm}
\section{Les lots}


Une association achète $72$ lots identiques pour récompenser les gagnants d’une tombola. Sur la note du commerçant, deux chiffres ont été effacés et on peut seulement lire *67,9* \euro{}.\\
Les * représentent les chiffres effacés qui peuvent être différents.\\ 

\textbf{Quels sont les chiffres disparus ? Justifiez votre démarche. }
\medskip

\input{./fichiers_tex/ex1sol}

\section{La table en chêne}
\begin{minipage}{11cm}
  Dans le jardin de son château, le Comte Sursédoi \\possède une immense table rectangulaire dont le\\ 
  plateau en chêne mesure deux mètres sur trois. \\
  Malheureusement, un coin de ce plateau a été brisé.\\
  Appelé par le Comte, Monsieur Répartou a scié dans le coin abimé un carré d’un mètre de côté ainsi que le montre la figure ci-contre.\\
  Ce morceau ayant été jeté, Monsieur Répartou propose alors à Monsieur le Comte de scier le plateau en quelques morceaux, puis de les recoller afin d’obtenir une nouvelle table.\\ Monsieur le Comte lui demande alors s’il peut réaliser une table carrée.
  
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
  \definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.75,0.75,0.75}
  \shorthandoff{:} 
  \definecolor{tttttt}{rgb}{0.2,0.2,0.2}
  \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.9cm,y=0.9cm]
  \draw [color=tttttt,dash pattern=on 3pt off 3pt, xstep=0.9cm,ystep=0.9cm] (-3.86,0.18) grid (4.44,5.86);
  \clip(-3.86,0.18) rectangle (4.44,5.86);
  \draw [line width=1.6pt] (-3,5)-- (1.24,5);
  \draw [line width=1.6pt] (1.24,5)-- (1.4,4.72);
  \draw [line width=1.6pt] (1.4,4.72)-- (1.32,4.44);
  \draw [line width=1.6pt] (1.32,4.44)-- (1.5,4.24);
  \draw [line width=1.6pt] (1.5,4.24)-- (1.68,3.88);
  \draw [line width=1.6pt] (1.68,3.88)-- (1.42,3.62);
  \draw [line width=1.6pt] (1.42,3.62)-- (2.34,3.3);
  \draw [line width=1.6pt] (2.34,3.3)-- (2.64,3.46);
  \draw [line width=1.6pt] (2.64,3.46)-- (2.82,3.28);
  \draw [line width=1.6pt] (2.82,3.28)-- (3.02,3.22);
  \draw [line width=1.6pt] (3.02,3.22)-- (3,1);
  \draw [line width=1.6pt] (3,1)-- (-3,1);
  \draw [line width=1.6pt] (-3,1)-- (-3,5);
  \draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 5pt off 5pt] (1,5)-- (1,3);
  \draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 5pt off 5pt] (1,3)-- (3.02,3);
  \end{tikzpicture}
\end{minipage} 
\par
\bigskip
\textbf{En découpant le plateau en un \underline{minimum de morceaux}, proposez un découpage (par des segments de droite uniquement) de façon à pouvoir reconstituer un plateau carré par collage.} \\ 

\subsection{Analyse à priori}
\begin{enumerate}

\item Enoncé motivant par la réalisation d’un objet concret courant et pratique.
\item Pour trouver une solution, l’élève doit faire apparaître le côté du carré final, si possible 2 fois, ce qui fera les 4 côtés après découpage. 
\item Ce côté est, entre autres, l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 2 et 1, ce pourrait être également celle d'un triangle de côtés $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ , mais ces mesures n'apparaissent pas simplement dans la figure.
\item 4 côtés égaux ne suffisent pas, il faut aussi 1 angle droit, or aucun des angles droits de la table réparée n’est associé à un coté de longueur avant découpage. Il serait donc intéressant de dessiner 2 hypoténuses de triangles rectangles $(2,1)$ faisant entre elles un angle droit
\end{enumerate}
\subsection{Éléments de solution} 

\begin{enumerate}
  \item Réalisation d'une table carrée avec trois morceaux: \\ 


  \begin{center}
    \definecolor{ffqqqt}{rgb}{1,0,0.01}
    \definecolor{ffqqqs}{rgb}{1,0,0.01}
    \definecolor{qqwwqs}{rgb}{0,0.4,0.01}
    \definecolor{ffcctv}{rgb}{1,0.8,0.21}
    \definecolor{zzzzzz}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
    \draw [color=zzzzzz,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-3.68,-0.34) grid (11.42,6.44);
    \clip(-3.68,-0.34) rectangle (11.42,6.44);
    \fill[color=ffcctv,fill=ffcctv,fill opacity=0.5] (-3,5) -- (-3,1) -- (-1,1) -- cycle;
    \fill[color=qqwwqs,fill=qqwwqs,fill opacity=0.5] (-1,1) -- (3,1) -- (3,3) -- cycle;
    \fill[color=ffqqqs,fill=ffqqqs,fill opacity=0.5] (-1,1) -- (-3,5) -- (1,5) -- (1,3) -- (3,3) -- cycle;
    \fill[color=ffcctv,fill=ffcctv,fill opacity=0.5] (5,4) -- (9,6) -- (9,4) -- cycle;
    \fill[color=ffqqqt,fill=ffqqqt,fill opacity=0.5] (5,4) -- (7,0) -- (11,2) -- (9,2) -- (9,4) -- cycle;
    \fill[color=qqwwqs,fill=qqwwqs,fill opacity=0.5] (9,2) -- (9,6) -- (11,2) -- cycle;
    \draw [line width=1.6pt] (3,1)-- (-3,1);
    \draw [line width=1.6pt] (-3,1)-- (-3,5);
    \draw [line width=1.6pt] (1,5)-- (1,3);
    \draw [line width=1.6pt] (1,3)-- (3.02,3);
    \draw [line width=1.6pt] (-3,5)-- (1,5);
    \draw [line width=1.6pt] (3,3)-- (3,1);
    \draw (-3,5)-- (-1,1);
    \draw (-1,1)-- (3,3);
    \draw [color=ffcctv] (-3,5)-- (-3,1);
    \draw [color=ffcctv] (-3,1)-- (-1,1);
    \draw [color=ffcctv] (-1,1)-- (-3,5);
    \draw [color=qqwwqs] (-1,1)-- (3,1);
    \draw [color=qqwwqs] (3,1)-- (3,3);
    \draw [color=qqwwqs] (3,3)-- (-1,1);
    \draw [color=ffqqqs] (-1,1)-- (-3,5);
    \draw [color=ffqqqs] (-3,5)-- (1,5);
    \draw [color=ffqqqs] (1,5)-- (1,3);
    \draw [color=ffqqqs] (1,3)-- (3,3);
    \draw [color=ffqqqs] (3,3)-- (-1,1);
    \draw (5,4)-- (9,4);
    \draw (9,2)-- (11,2);
    \draw (11,2)-- (7,0);
    \draw (7,0)-- (5,4);
    \draw (9,4)-- (9,2);
    \draw (5,4)-- (9,6);
    \draw (9,6)-- (9,4);
    \draw (9,6)-- (11,2);
    \draw [line width=1.6pt,color=ffcctv] (5,4)-- (9,6);
    \draw [color=ffcctv] (9,6)-- (9,4);
    \draw [color=ffcctv] (9,4)-- (5,4);
    \draw [line width=1.6pt,color=ffqqqt] (5,4)-- (7,0);
    \draw [line width=1.6pt,color=ffqqqt] (7,0)-- (11,2);
    \draw [color=ffqqqt] (11,2)-- (9,2);
    \draw [color=ffqqqt] (9,2)-- (9,4);
    \draw [color=ffqqqt] (9,4)-- (5,4);
    \draw [color=qqwwqs] (9,2)-- (9,6);
    \draw [line width=1.6pt,color=qqwwqs] (9,6)-- (11,2);
    \draw [color=qqwwqs] (11,2)-- (9,2);
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
 \newpage 
  \item Réalisation d'une table carrée avec 4 morceaux.\\
  
  L’aire du plateau restant est égale à $5 m^2$, il s’agit de construire un carré dont le côté est égal à $\sqrt{5}$  mètres.  \\
  Il peut alors être intéressant de faire apparaître un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement $2$ mètres et $1$ mètre.
  Un tel triangle (en vert ci-dessous) peut avoir pour sommet l’angle droit « rentrant » créé par M. Répartou. 

  \begin{center}
    \definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
    \definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
    \definecolor{qqqqzz}{rgb}{0,0,0.6}
    \definecolor{qqwwqq}{rgb}{0,0.4,0}
    \definecolor{zzzzzz}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.9][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
    \draw [color=zzzzzz,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-3.24,-1.3) grid (11.34,5.3);
    \clip(-3.24,-1.3) rectangle (11.34,5.3);
    \fill[color=qqwwqq,fill=qqwwqq,fill opacity=0.5] (7,5) -- (7,1) -- (5,1) -- cycle;
    \fill[color=qqqqzz,fill=qqqqzz,fill opacity=0.5] (7,5) -- (7,1) -- (10,1) -- (11,3) -- cycle;
    \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.3] (5,1) -- (7,1) -- (7,0) -- cycle;
    \fill[color=zzqqzz,fill=zzqqzz,fill opacity=0.5] (7,0) -- (7,1) -- (10,1) -- (9,-1) -- cycle;
    \fill[color=qqwwqq,fill=qqwwqq,fill opacity=0.5] (-3,5) -- (1,5) -- (1,3) -- cycle;
    \fill[color=qqqqzz,fill=qqqqzz,fill opacity=0.5] (-3,5) -- (-3,1) -- (0,1) -- (1,3) -- cycle;
    \fill[color=zzqqzz,fill=zzqqzz,fill opacity=0.5] (0,1) -- (1,3) -- (3.01,2) -- (3,1) -- cycle;
    \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.3] (1,3) -- (3.02,3) -- (3.01,2) -- cycle;
    \draw [line width=1.6pt] (3,1)-- (-3,1);
    \draw [line width=1.6pt] (-3,1)-- (-3,5);
    \draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 5pt off 5pt] (1,5)-- (1,3);
    \draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 5pt off 5pt] (1,3)-- (3.02,3);
    \draw [line width=1.6pt] (-3,5)-- (1,5);
    \draw [line width=1.6pt] (3.02,3)-- (3,1);
    \draw (-3,5)-- (3.01,2);
    \draw (1,3)-- (0,1);
    \draw (5,1)-- (7,5);
    \draw (7,5)-- (11,3);
    \draw (11,3)-- (9,-1);
    \draw (5,1)-- (10,1);
    \draw (7,5)-- (7,0);
    \draw (5,1)-- (9,-1);
    \draw [color=qqwwqq] (7,5)-- (7,1);
    \draw [color=qqwwqq] (7,1)-- (5,1);
    \draw [color=qqwwqq] (5,1)-- (7,5);
    \draw [color=qqqqzz] (7,5)-- (7,1);
    \draw [color=qqqqzz] (7,1)-- (10,1);
    \draw [color=qqqqzz] (10,1)-- (11,3);
    \draw [color=qqqqzz] (11,3)-- (7,5);
    \draw [color=zzttqq] (5,1)-- (7,1);
    \draw [color=zzttqq] (7,1)-- (7,0);
    \draw [color=zzttqq] (7,0)-- (5,1);
    \draw [color=zzqqzz] (7,0)-- (7,1);
    \draw [color=zzqqzz] (7,1)-- (10,1);
    \draw [color=zzqqzz] (10,1)-- (9,-1);
    \draw [color=zzqqzz] (9,-1)-- (7,0);
    \draw [color=qqwwqq] (-3,5)-- (1,5);
    \draw [color=qqwwqq] (1,5)-- (1,3);
    \draw [color=qqwwqq] (1,3)-- (-3,5);
    \draw [color=qqqqzz] (-3,5)-- (-3,1);
    \draw [color=qqqqzz] (-3,1)-- (0,1);
    \draw [color=qqqqzz] (0,1)-- (1,3);
    \draw [color=qqqqzz] (1,3)-- (-3,5);
    \draw [color=zzqqzz] (0,1)-- (1,3);
    \draw [color=zzqqzz] (1,3)-- (3.01,2);
    \draw [color=zzqqzz] (3.01,2)-- (3,1);
    \draw [color=zzqqzz] (3,1)-- (0,1);
    \draw [color=zzttqq] (1,3)-- (3.02,3);
    \draw [color=zzttqq] (3.02,3)-- (3.01,2);
    \draw [color=zzttqq] (3.01,2)-- (1,3);
    \end{tikzpicture}
  \end{center}


\item Réalisation d'une table carrée avec cinq morceaux:\\ 
 

\begin{center}
  \definecolor{ffqqda}{rgb}{1,0,0.85}
  \definecolor{qqwwcc}{rgb}{0,0.4,0.8}
  \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
  \definecolor{ffqqcc}{rgb}{1,0,0.8}
  \definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
  \definecolor{ffzzqq}{rgb}{1,0.6,0}
  \definecolor{zzzzzz}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
  \begin{tikzpicture}[scale=0.9][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  \draw [color=zzzzzz,dash pattern=on 3pt off 3pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-3.38,-0.1) grid (10.98,5.54);
  \clip(-3.38,-0.1) rectangle (10.98,5.54);
  \fill[color=ffzzqq,fill=ffzzqq,fill opacity=0.5] (-3,5) -- (1,3) -- (1,5) -- cycle;
  \fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.5] (-3,5) -- (-3,3) -- (1,3) -- cycle;
  \fill[color=ffqqcc,fill=ffqqcc,fill opacity=0.5] (-3,3) -- (-3,1) -- (1,3) -- cycle;
  \fill[color=ffqqqq,fill=ffqqqq,fill opacity=0.5] (-3,1) -- (1,1) -- (1,3) -- cycle;
  \fill[color=qqwwcc,fill=qqwwcc,fill opacity=0.5] (1,1) -- (1,3) -- (3,3) -- (3,1) -- cycle;
  \fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.5] (6,4.97) -- (9.58,3.18) -- (10.47,4.97) -- cycle;
  \fill[color=ffzzqq,fill=ffzzqq,fill opacity=0.5] (6,4.97) -- (7.79,4.08) -- (6,0.5) -- cycle;
  \fill[color=qqwwcc,fill=qqwwcc,fill opacity=0.5] (6.89,2.29) -- (8.68,1.39) -- (9.58,3.18) -- (7.79,4.08) -- cycle;
  \fill[color=ffqqqq,fill=ffqqqq,fill opacity=0.5] (6.89,2.29) -- (10.47,0.5) -- (6,0.5) -- cycle;
  \fill[color=ffqqda,fill=ffqqda,fill opacity=0.5] (10.47,4.97) -- (8.68,1.39) -- (10.47,0.5) -- cycle;
  \draw [line width=1.6pt] (3,1)-- (-3,1);
  \draw [line width=1.6pt] (-3,1)-- (-3,5);
  \draw [line width=1.6pt] (1,5)-- (1,3);
  \draw [line width=1.6pt] (1,3)-- (3.02,3);
  \draw [line width=1.6pt] (-3,5)-- (1,5);
  \draw [line width=1.6pt] (3,3)-- (3,1);
  \draw (1,3)-- (1,1);
  \draw (-3,3)-- (1,3);
  \draw (1,3)-- (-3,5);
  \draw (1,3)-- (-3,1);
  \draw [color=ffzzqq] (-3,5)-- (1,3);
  \draw [color=ffzzqq] (1,3)-- (1,5);
  \draw [color=ffzzqq] (1,5)-- (-3,5);
  \draw [color=ffwwww] (-3,5)-- (-3,3);
  \draw [color=ffwwww] (-3,3)-- (1,3);
  \draw [color=ffwwww] (1,3)-- (-3,5);
  \draw [color=ffqqcc] (-3,3)-- (-3,1);
  \draw [color=ffqqcc] (-3,1)-- (1,3);
  \draw [color=ffqqcc] (1,3)-- (-3,3);
  \draw [color=ffqqqq] (-3,1)-- (1,1);
  \draw [color=ffqqqq] (1,1)-- (1,3);
  \draw [color=ffqqqq] (1,3)-- (-3,1);
  \draw [color=qqwwcc] (1,1)-- (1,3);
  \draw [color=qqwwcc] (1,3)-- (3,3);
  \draw [color=qqwwcc] (3,3)-- (3,1);
  \draw [color=qqwwcc] (3,1)-- (1,1);
  \draw (6,0.5)-- (6,4.97);
  \draw (6,4.97)-- (7.79,4.08);
  \draw (7.79,4.08)-- (6,0.5);
  \draw (10.47,4.97)-- (8.68,1.39);
  \draw (6,4.97)-- (9.58,3.18);
  \draw (6,0.5)-- (10.47,0.5);
  \draw (6.89,2.29)-- (10.47,0.5);
  \draw (6,4.97)-- (10.47,4.97);
  \draw [color=ffwwww] (6,4.97)-- (9.58,3.18);
  \draw [color=ffwwww] (9.58,3.18)-- (10.47,4.97);
  \draw [line width=1.6pt,color=ffwwww] (10.47,4.97)-- (6,4.97);
  \draw [color=ffzzqq] (6,4.97)-- (7.79,4.08);
  \draw [color=ffzzqq] (7.79,4.08)-- (6,0.5);
  \draw [line width=1.6pt,color=ffzzqq] (6,0.5)-- (6,4.97);
  \draw [color=qqwwcc] (6.89,2.29)-- (8.68,1.39);
  \draw [color=qqwwcc] (8.68,1.39)-- (9.58,3.18);
  \draw [color=qqwwcc] (9.58,3.18)-- (7.79,4.08);
  \draw [color=qqwwcc] (7.79,4.08)-- (6.89,2.29);
  \draw [color=ffqqqq] (6.89,2.29)-- (10.47,0.5);
  \draw [line width=1.6pt,color=ffqqqq] (10.47,0.5)-- (6,0.5);
  \draw [color=ffqqqq] (6,0.5)-- (6.89,2.29);
  \draw [color=ffqqda] (10.47,4.97)-- (8.68,1.39);
  \draw [color=ffqqda] (8.68,1.39)-- (10.47,0.5);
  \draw [line width=1.6pt,color=ffqqda] (10.47,0.5)-- (10.47,4.97);
  \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}   


\section{Patron, un antiprisme.}


Sur un cube en bois de trois centimètres d’arête, Paul trace six diagonales de carrés, comme l’indique une perspective cavalière de celui-ci (Figure 1). \\
Il coupe le cube suivant le plan (AFH), puis suivant le plan (BDG).
Il obtient trois solides, deux tétraèdres (Figure 2 et Figure 4) et le cube tronqué, appelé \textbf{antiprisme} (Figure 3). \\

\begin{minipage}{6cm}
  \begin{center}
  \definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
  \shorthandoff{:}
  \definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
  \begin{tikzpicture}[scale=0.83][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] 
    
  \clip(-0.68,-1.48) rectangle (5.48,5);
  \draw (-0.04,0.46)-- (3.04,0.46);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (1.48,1.34)-- (-0.04,0.46);
  \draw (3.04,3.54)-- (4.56,4.42);
  \draw (4.56,4.42)-- (1.48,4.42);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (1.48,4.42)-- (1.48,1.34);
  \draw (3.04,3.54)-- (3.04,0.46);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.04,0.46)-- (1.48,4.42);
  \draw (1.48,4.42)-- (3.04,3.54);
  \draw (3.04,3.54)-- (-0.04,0.46);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (1.48,1.34)-- (3.04,0.46);
  \draw (3.04,0.46)-- (4.56,4.42);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (4.56,4.42)-- (1.48,1.34);
  %\draw(0.38,6.04) -- (2.38,6.04);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (1.48,1.34)-- (3.04,0.46);
  \draw (3.04,0.46)-- (4.56,1.34);
  \draw (4.56,1.34)-- (4.56,4.42);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (4.56,4.42)-- (1.48,1.34);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (1.48,1.34)-- (4.56,1.34);
  \draw (3.04,0.46)-- (4.56,4.42);
  \draw (-0.04,0.46)-- (-0.04,3.54);
  \draw (-0.04,3.54)-- (1.48,4.42);
  \draw (1.48,4.42)-- (3.04,3.54);
  \draw (3.04,3.54)-- (-0.04,0.46);
  \draw (-0.04,3.54)-- (3.04,3.54);
  \fill [color=uququq] (3.04,0.46) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (3.12,0.18) node {$B$};
  \fill [color=uququq] (4.56,1.34) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (4.96,1.32) node {$C$};
  \fill [color=uququq] (4.56,4.42) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (4.72,4.68) node {$G$};
  \fill [color=uququq] (1.48,1.34) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (1.28,1.64) node {$D$};
  \fill [color=uququq] (-0.04,0.46) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (-0.2,0.24) node {$A$};
  \fill [color=uququq] (-0.04,3.54) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (-0.44,3.8) node {$E$};
  \fill [color=uququq] (3.04,3.54) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (3.18,3.8) node {$F$};
  \fill [color=uququq] (1.48,4.42) circle (0.5pt);
  \draw[color=uququq] (1.64,4.68) node {$H$};
  \draw (1.5,-0.55) node {Figure 1};
  \end{tikzpicture}

\end{center}  
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
 \begin{center}
   \definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25} 
   \begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
   \clip(-4.5,-1.8) rectangle (9,4.94);
   \draw (-0.5,0.28)-- (2.58,0.28);
   \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (1.48,1.34)-- (-0.5,0.28);
   \draw (2.58,3.36)-- (4.56,4.42);
   \draw (4.56,4.42)-- (1.48,4.42);
   \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (1.48,4.42)-- (1.48,1.34);
   \draw (2.58,3.36)-- (2.58,0.28);
   \draw  (-0.5,0.28)-- (1.48,4.42);
   \draw (1.48,4.42)-- (2.58,3.36);
   \draw (2.58,3.36)-- (-0.5,0.28);
   \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (1.48,1.34)-- (2.58,0.28);
   \draw (2.58,0.28)-- (4.56,4.42);
   \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (4.56,4.42)-- (1.48,1.34);
   \draw  (4.25,1.34)-- (5.35,0.28);
   \draw (5.35,0.28)-- (7.33,1.34);
   \draw (7.33,1.34)-- (7.33,4.42);
   \draw  (7.33,4.42)-- (4.25,1.34);
   \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (4.25,1.34)-- (7.33,1.34);
   \draw (5.35,0.28)-- (7.33,4.42);
   \draw (-3.27,0.28)-- (-3.27,3.36);
   \draw (-3.27,3.36)-- (-1.29,4.42);
   \draw (-1.29,4.42)-- (-0.19,3.36);
   \draw (-0.19,3.36)-- (-3.27,0.28);
   \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-3.27,0.28)-- (-1.29,4.42);
   \draw (-3.27,3.36)-- (-0.19,3.36); 
   \fill [color=uququq] (5.35,0.28) circle (1.5pt); 
   \fill [color=uququq] (7.33,1.34) circle (1.5pt);
   \fill [color=uququq] (7.33,4.42) circle (1.5pt);
   \fill [color=uququq] (4.25,1.34) circle (1.5pt);
    \fill [color=uququq] (-3.27,0.28) circle (1.5pt);
   \fill [color=uququq] (-3.27,3.36) circle (1.5pt);  
   \fill [color=uququq] (-0.19,3.36) circle (1.5pt);  
   \fill [color=uququq] (-1.29,4.42) circle (1.5pt); 
   \draw (-3,-0.8) node {Figure 2};
   \draw (1,-0.8) node {Figure 3};
   \draw (5.5,-0.8) node {Figure 4};
   \end{tikzpicture}  
 \end{center} 
\end{minipage}
 
\smallskip
\textbf{Réalisez, en vraie grandeur, un patron de l’antiprisme et un patron d'un tétraèdre.}
\bigskip   
\input{./fichiers_tex/ex3sol}

\section{Croix dans un carré}
\begin{minipage}{8cm}
  Dans un carré est inscrite une croix comme
  l’indique la figure ci-contre.\\
  Les quatre axes de symétrie du carré sont
  également des axes de symétrie de la croix.\\
  Les côtés de la croix sont deux à deux
  perpendiculaires ou parallèles.\\
  
  \textbf{Construisez une croix dans un carré donné
    telle que l’aire de la croix soit la moitié de
    l’aire du carré. \\
    Justifiez votre démarche.                     }
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  \clip(-0.42,3.22) rectangle (6.14,9.52);
  \draw (0.74,4.24)-- (5.3,4.26);
  \draw (5.3,4.26)-- (5.28,8.82);
  \draw (5.28,8.82)-- (0.72,8.8);
  \draw (0.72,8.8)-- (0.74,4.24);
  \draw (5.28,8.82)-- (5.28,7.84);
  \draw (0.72,8.8)-- (0.72,7.82);
  \draw (0.74,4.24)-- (1.72,4.24);
  \draw (5.3,4.26)-- (4.32,4.26);
  \draw (5.3,4.26)-- (5.3,5.24);
  \draw (0.74,4.24)-- (0.74,5.22);
  \draw (5.28,8.82)-- (4.3,8.82);
  \draw (0.72,7.82)-- (1.7,8.8);
  \draw  (1.7,8.8)-- (3,7.51);
  \draw  (3,7.51)-- (4.3,8.82);
  \draw  (4.3,8.82)-- (5.28,7.84);
  \draw  (5.28,7.84)-- (4,6.53);
  \draw  (4,6.53)-- (5.3,5.24);
  \draw  (5.3,5.24)-- (4.32,4.26);
  \draw  (4.32,4.26)-- (3.01,5.55);
  \draw  (3.01,5.55)-- (1.72,4.24);
  \draw  (1.72,4.24)-- (0.74,5.22);
  \draw  (0.74,5.22)-- (2.03,6.53);
  \draw  (2.03,6.53)-- (0.72,7.82);
   
  \end{tikzpicture}  
\end{center}  
\end{minipage}
\input{./fichiers_tex/ex4sol}
\section{La combinaison}
Lors d’un jeu de piste, une des épreuves consistait à deviner le nombre clé permettant l’entrée de la salle du trésor.\\ Ce nombre clé est un entier  à 4 chiffres que nous appellerons $N$.\\

Marius et Olive ont obtenu cinq indices en résolvant les énigmes précédentes :
\begin{itemize}
  \item Indice 1: $N$ s’écrit à l’aide de deux chiffres différents, chacun de ces chiffres apparaissant deux fois. 
  \item Indice 2: Le chiffre des milliers de $N$ est supérieur ou égal à 3.
  \item Indice 3 : $N$ est un multiple de 5.   
  \item Indice 4 : $N$ est un multiple de 3. 
  \item Indice 5 : $N$ est un multiple de 7.  
\end{itemize}

Marius et Olive sont enfin arrivés devant la salle du trésor. Ils n’ont droit qu’à un seul essai pour que la porte s’ouvre. \\

\textbf{Quel nombre clé leur permettra d’accéder au trésor ? Justifiez votre démarche.}\\
 
\medskip
\subsection{Analyse à priori }

Cet exercice requiert quelques connaissances arithmétiques basiques telles que
\begin{itemize}
  \item le dernier chiffre d’un nombre impair est impair 
  \item le dernier chiffre d’un multiple de $5$ est $0$ ou $5$
  \item le critère de divisibilité par $3$ (somme des chiffres multiple de $3$) 
  \item un entier de $2$ chiffres est multiple de $11$ lorsque ses deux chiffres sont identiques.  
\end{itemize}
 
La résolution demandera ensuite une bonne organisation pour aboutir à l’unique entier solution. Un groupe d’élèves interprétant correctement l’indice $1$ limitera fortement les cas à étudier.\\
Remarque : il y a alors $45 \times 6-3 \times 9 = 243$ solutions

L’indice $2$ est le plus délicat à interpréter, les élèves concernés ne connaissant pas de critère de divisibilité par $11$.\\
La conclusion demandera l’utilisation de la calculatrice. Le temps consacré à tester des entiers dépendra de la qualité des déductions atteintes grâce aux indices.

\subsection{Éléments de solutions.}

L’indice $1$ permet de limiter les écritures de $N$ aux formes $aabb$, $abab$, $abba $. Nous supposons que le premier chiffre de $N$ est noté $a$($a$ compris entre $1$ et $9$) et que l’autre chiffre est noté $b$ ($b $compris entre $0$ et $9$). \\


L’indice $2$ précise que $N$ n’est pas un multiple de $11$.\\ 
Or, la première écriture $aabb$ représente $ 1100a + 11b = 11(100a + b)$. \\
Cette écriture est donc  celle d’un multiple de $11$. \\
Nous en concluons que $N$ n’est pas de la forme $aabb$.\\ 

$N$ est donc de la forme $abab$ ou $abba$.\\

L’indice $3$ précise que $N$ est multiple impair de $5$. Un multiple de $5$ se termine par $0$ ou par $5$. S’il est impair, $N$ se termine donc par $5$.\\
$N$ a donc une écriture de la forme $a5a5$ ou $5bb5$\\

L’indice $4$ précise que $N$ est multiple de $3$, la somme de ses chiffres est alors multiple de $3$.
Dans le cas de l’écriture a5a5, cela signifie que $2a + 10$ est multiple de $3$, ce qui fournit $a = 1$ ou $a = 4$ ou $a = 7$.
Dans le cas de l’écriture $5bb5$, cela signifie que $2b + 10$ est multiple de $3$, ce qui fournit$ b = 1$ ou$ b = 4$ ou $b = 7$. \\
On a donc $N = 5115$ ou $N = 5445$ ou $ N = 5775$ ou $N = 1515$ ou $N = 4545$ ou $N = 7575$.\\

L’indice $5$ permet de déterminer le nombre clé, unique multiple de $7$ parmi les $6$ entiers précités.\\

\textbf{Il s’agit de $5775$}.\\



\textbf{Autre méthode : }\\
Les indices $3$, $4$, $5$ indiquent que $N$ est un multiple impair de $105 = 3x5x7$
L’indice $2$ indique que $N$ n’est pas un multiple de $11$.
$N$ est donc un entier de $4$ chiffres de la forme $105k$ avec  $k$ non multiple de $11$, soit $k$ élément de  $\{ 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49,\\
 51, 53, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 79, 81, 83, 85, 87, 91, 93, 95, 97 \}  $\\
Il y a donc $38$ entiers à tester.  \\

\section{Dé premier et dé double}
Primus et Doblus sont deux citoyens romains qui passent le plus clair de leur temps à jouer.\\
 
\begin{minipage}{7cm}
Chacun d'eux a inventé un dé cubique à six faces numérotées de façon inhabituelle:
celui de Primus a pour numéros les nombres premiers consécutifs à partir de 13, alors que celui de Doblus a pour numéros les nombres pairs consécutifs à partir de 16.\\
Une partie acharnée s'engage:\\
à chaque lancer, celui qui obtient le plus petit nombre doit donner un sesterce à son adversaire. \\
Chacun d'eux est persuadé que son dé est plus performant que celui de l'autre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
    \clip(0.9,0) rectangle (4.29,3.82);
    \draw [line width=1.8pt] (1,1)-- (3,1);
    \draw [line width=1.8pt] (1,3)-- (2.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (2.04,3.68)-- (4.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (4.04,3.68)-- (4.04,1.68);
    \draw [line width=1.8pt] (4.04,1.68)-- (3,1);
    \draw [line width=1.8pt] (7,3)-- (9,3);
    \draw [line width=1.8pt] (9,3)-- (10.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (10.04,3.68)-- (8.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (8.04,3.68)-- (7,3);
    \draw [line width=1.8pt] (7,3)-- (7,1);
    \draw [line width=1.8pt] (9,3)-- (9,1);
    \draw [line width=1.8pt] (9,1)-- (10.04,1.68);
    \draw [line width=1.8pt] (10.04,1.68)-- (10.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (7,1)-- (9,1);
    \draw [line width=1.8pt] (3,3)-- (4.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (1,3)-- (1,1);
    \draw [line width=1.8pt] (1,3)-- (3,3);
    \draw [line width=1.8pt] (3,3)-- (3,1);
    \draw [line width=1.8pt] (1.25,2.5)-- (1.75,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (1.75,2.5)-- (1.25,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (1.88,2.5)-- (2.13,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.38,2.5)-- (2.13,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.5,2.5)-- (2.5,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.75,2.5)-- (2.75,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.03,3.51)-- (2.01,3.17);
    \draw [line width=1.8pt] (2.53,3.51)-- (1.51,3.17);
    \draw [line width=1.8pt] (2.78,3.51)-- (2.26,3.17);
    \draw [line width=1.8pt] (2.51,3.17)-- (3.53,3.51);
    \draw [line width=1.8pt] (3.03,3.51)-- (3.01,3.17);
    \draw [line width=1.8pt] (3.2,2.63)-- (3.46,1.8);
    \draw [line width=1.8pt] (3.46,2.8)-- (3.2,1.63);
    \draw [line width=1.8pt] (3.59,2.88)-- (3.59,1.88);
    \draw [line width=1.8pt] (3.72,2.97)-- (3.72,1.97);
    \draw [line width=1.8pt] (3.85,3.05)-- (3.85,2.05);
    \draw[color=black] (2.5,0.5) node {\small{\emph{dé de Primus}}};

    \end{tikzpicture}    
\end{center}    
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
    \clip(0.9,0) rectangle (4.2,3.82);
    \draw [line width=1.8pt] (1,1)-- (3,1);
    \draw [line width=1.8pt] (1,3)-- (2.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (2.04,3.68)-- (4.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (4.04,3.68)-- (4.04,1.68);
    \draw [line width=1.8pt] (4.04,1.68)-- (3,1);
    \draw [line width=1.8pt] (7,3)-- (9,3);
    \draw [line width=1.8pt] (9,3)-- (10.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (10.04,3.68)-- (8.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (8.04,3.68)-- (7,3);
    \draw [line width=1.8pt] (7,3)-- (7,1);
    \draw [line width=1.8pt] (9,3)-- (9,1);
    \draw [line width=1.8pt] (9,1)-- (10.04,1.68);
    \draw [line width=1.8pt] (10.04,1.68)-- (10.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (7,1)-- (9,1);
    \draw [line width=1.8pt] (3,3)-- (4.04,3.68);
    \draw [line width=1.8pt] (1,3)-- (1,1);
    \draw [line width=1.8pt] (1,3)-- (3,3);
    \draw [line width=1.8pt] (3,3)-- (3,1);
    \draw [line width=1.8pt] (2.16,3.51)-- (2.14,3.17);
    \draw [line width=1.8pt] (1.63,3.17)-- (2.66,3.51);
    \draw [line width=1.8pt] (2.91,3.51)-- (2.89,3.17);
    \draw [line width=1.8pt] (2.39,3.17)-- (3.41,3.51);
    \draw [line width=1.8pt] (1.13,2.5)-- (1.63,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (1.63,2.5)-- (1.13,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (1.75,2.5)-- (2,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2,1.5)-- (2.25,2.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.38,2.5)-- (2.38,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.63,2.5)-- (2.63,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (2.88,2.5)-- (2.88,1.5);
    \draw [line width=1.8pt] (3.13,2.59)-- (3.39,1.76);
    \draw [line width=1.8pt] (3.39,2.76)-- (3.13,1.59);
    \draw [line width=1.8pt] (3.52,2.84)-- (3.65,1.93);
    \draw [line width=1.8pt] (3.78,3.01)-- (3.65,1.93);
    \draw [line width=1.8pt] (3.91,3.1)-- (3.91,2.1);
   \draw[color=black] (2.5,0.5) node {\small{\emph{dé de Doblus}}};
    \end{tikzpicture}    
\end{center}    
\end{minipage}\\ 

\textbf{Déterminez si l'un des joueurs a plus de chances de s'enrichir.}

\input{./fichiers_tex/ex6sol}

\section{Strike!}
Willem est passionné de jeux vidéo. Sur la toute dernière console à la mode,  il est devenu expert au bowling. A chaque niveau, le nombre de quilles à abattre augmente.
 \begin{center}   
      \begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
       \clip(-13.88,-1.08) rectangle (8.3,4.62);
       \fill  (-1,3) circle (3.5pt);
       \fill (0,3) circle (3.5pt);
       \fill  (4,3) circle (3.5pt);
       \fill  (5,3) circle (3.5pt);
       \fill (6,3) circle (3.5pt);
       \fill  (7,3) circle (3.5pt);
       \fill  (3.5,4) circle (3.5pt);
       \fill (-0.5,2) circle (3.5pt);
       \fill (4.5,4) circle (3.5pt);
       \fill  (5.5,4) circle (3.5pt);
       \fill  (6.5,4) circle (3.5pt);
       \fill  (7.5,4) circle (3.5pt);
       \fill  (4.5,2) circle (3.5pt);
       \fill  (5,1) circle (3.5pt);
       \fill (5.5,0) circle (3.5pt);
       \fill  (5.5,2) circle (3.5pt);
       \fill  (6.5,2) circle (3.5pt);
       \fill  (6,1) circle (3.5pt);
       \fill  (-3,3) circle (3.5pt);
       \fill  (-1,1) circle (3.5pt);
       \fill (-2,3) circle (3.5pt);
       \fill  (-1.5,2) circle (3.5pt);
       \fill  (-2,1) circle (3.5pt);
       \fill (-1.5,0) circle (3.5pt);
       \fill  (-6.5,2) circle (3.5pt);
       \fill  (-7.5,2) circle (3.5pt);
       \fill  (-8.5,2) circle (3.5pt);
       \fill (-8,1) circle (3.5pt);
       \fill (-7,1) circle (3.5pt);
       \fill  (-7.5,0) circle (3.5pt);
       \fill (-12,1) circle (3.5pt);
       \fill  (-13,1) circle (3.5pt);
       \fill  (-12.5,0) circle (3.5pt);
       \fill (-2.5,2) circle (3.5pt);
     \draw (-12.5,-0.8) node {\textbf{Niveau 1}}; 
        \draw (-7.3,-0.8) node {\textbf{Niveau 2}};
          \draw (-1.5,-0.8) node {\textbf{Niveau 3}};
            \draw (5.7,-0.8) node {\textbf{Niveau 4}};              
     \end{tikzpicture}
\end{center}
Après avoir joué pendant des heures durant, il s’endort épuisé et rêve… \\
« Du jamais vu dans l’univers, le précédent record de 10 011 quilles abattues au 140\ieme{} niveau vient d’être battu ! Willem vient de réussir le 150\ieme{} niveau… » \\

\textbf{Combien de quilles aurait-il fait tomber au 150\ieme{} niveau pour réaliser son rêve ?\\ Justifiez votre démarche.}\\

\input{./fichiers_tex/ex7sol}

\section{Octogone régulier}
\vspace{-6pt} 
En utilisant uniquement une règle à bord parallèles et un crayon, Eric et Julie peuvent tracer
des segments de droites, des segments de droites parallèles, des losanges, des droites
perpendiculaires, des carrés et bien d’autres figures géométriques simples……. \\
\vspace{5pt} 
Voici le modèle de règle utilisé par Eric et Julie.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{bande}\\
\vspace{-5pt}
\emph{Cette règle ne peut être pliée et il est impossible d'écrire dessus.     }
\end{center}
\textbf{Tracez-la sur une feuille cartonnée et découpez-la.}\\
\medskip
\textbf{Montrez comment ils ont fait pour construire deux droites perpendiculaires.  }\\

Aujourd’hui, ils décident de construire un \textbf{octogone régulier}. \\
\textbf{Construisez-le en donnant les différentes étapes.}
\input{./fichiers_tex/ex8sol}  
\vspace{-6pt} 
\section{Ombre}
\vspace{-6pt}
\begin{minipage}{9cm}
  Un presse papier est composé de trois cubes, de même dimensions, collés deux à deux comme l'indique le dessin. Ce solide posé, sur une table horizontale, est éclairé par les rayons du soleil. Clara observe l’ombre du presse papier  et décide de la dessiner. Dérangée par son petit frère, elle a juste le temps de dessiner l’ombre d’une arête verticale. \\
  \textbf{Tracez l’ombre de ce solide à partir des données de Clara.} \textbf{Expliquez les différentes étapes de votre tracé. } \\  
\end{minipage} 
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
  \definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
  \definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
    \shorthandoff{:} 
  \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  \clip(0.27,-0.96) rectangle (8,6.46);
  \draw [line width=1.2pt] (1,3)-- (3,3);
  \draw [line width=1.2pt] (3,3)-- (3,1);
  \draw [line width=1.2pt] (3,1)-- (1,1);
  \draw [line width=1.2pt] (1,1)-- (1,3);
  \draw [line width=1.2pt] (1,3)-- (2,3.5);
  \draw [line width=1.2pt] (2,3.5)-- (4,3.5);
  \draw [line width=1.2pt] (3,3)-- (4,3.5);
  \draw [line width=1.2pt] (4,3.5)-- (5,4);
  \draw [line width=1.2pt] (3,1)-- (4,1.5);
  \draw [line width=1.2pt] (4,1.5)-- (5,2);
  \draw [line width=1.2pt] (5,2)-- (5,4);
  \draw [line width=1.2pt] (4,1.5)-- (4,3.5);
  \draw [line width=1.2pt] (2,3.5)-- (2,5.5);
  \draw [line width=1.2pt] (2,5.5)-- (3,6);
  \draw [line width=1.2pt] (3,6)-- (5,6);
  \draw [line width=1.2pt] (5,6)-- (4,5.5);
  \draw [line width=1.2pt] (4,5.5)-- (4,3.5);
  \draw [line width=1.2pt] (5,6)-- (5,4);
  \draw [line width=1.2pt] (2,5.5)-- (4,5.5);
  \draw (1,1)-- (3.64,-0.58);
  \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt,domain=0.27:5.7] plot(\x,{(--11.5-3.58*\x)/2.64});
  \fill [color=black] (1,3) circle (0.5pt);
  \draw[color=black] (1.05,3.46) node {$A$};
  \fill [color=qqqqff] (3,3) circle (0.5pt);
  \fill [color=qqqqff] (3,1) circle (0.5pt);
  \fill [color=qqqqff] (1,1) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (2,3.5) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (4,3.5) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (4,1.5) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (5,4) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (5,2) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (4,5.5) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (2,5.5) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (5,6) circle (0.5pt);
  \fill [color=uququq] (3,6) circle (0.5pt);
  \fill [color=black] (3.64,-0.58) circle (0.5pt);
  \draw[color=black] (3.95,-0.54) node {$a$};
  \draw[color=black] (5.25,0.5) node {\emph{\footnotesize $(Aa)$ est la direction }};
  \draw[color=black] (5.25,0.1) node {\emph{\footnotesize des rayons du soleil}};
  \end{tikzpicture}
\end{center}  
\end{minipage}

\input{./fichiers_tex/ex9sol}

\end{document}
