\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb,euscript,mathrsfs}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{eurosym}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}
\ifx\pdfpageheight\undefined\relax\else\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}\fi
%D\'{e}finition de la mise en page
\usepackage{geometry}
\geometry{body={18cm,27cm}}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0 cm}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection} --}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATH\'{E}MATIQUE DE FRANCHE-COMT\'{E}}

\smallskip
\textbf{Finale du jeudi 5 avril 2007}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

\bigskip
Les classes de Troisi\`{e}me doivent r\'{e}soudre les exercices 1 \`{a} 6.

Les classes de Seconde doivent r\'{e}soudre les exercices 4 \`{a} 9.

La classe doit rendre une seule r\'{e}ponse par exercice trait\'{e} \textbf{en expliquant la d\'{e}marche}.


%\bigskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

\subsection{Crésus}

\medskip
M. Crésus fait une exposition de toutes ses pierres précieuses ; il les a disposées sur une grande table recouverte de velours noir de telle sorte qu'il y en ait en moyenne trois par dm$^2$. Cette table a la forme d'un rectangle deux fois plus long que large.
Les visiteurs qui viennent admirer ce trésor sont maintenus à bonne distance pour éviter tout vol : une rambarde entoure la table à exactement $1,40$ m de son bord. Cette rambarde mesure $19,60$ m.
\begin{center}
\textbf{Combien de pierres M. Crésus a-t-il exposées ?}
\end{center}

\vskip0,5 cm
\subsection{Numismath}
Après un coup d'état, la Bordurie a décidé de quitter l'Union Européenne. Elle a immédiatement appliqué une réforme monétaire, désormais, l'Euro est remplacé par le Borduro dans les conditions suivantes :
\vskip-0,5 cm
\begin{itemize}
	\item {Il n'y a plus de pièces, seulement des billets ayant sur une face un paysage bordure et sur l'autre un domino formé de deux carrés contenant entre 1 et 15 points (le coup d'état a eu lieu le 15 avril).}
	\item {La disposition des points symbolisant les nombres de $1$ à $15$ est unique.}
	\item {La valeur du billet est le produit des nombres apparaissant dans les carrés du domino.}
\end{itemize}
\vskip-0,2 cm
\parbox{16cm}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{Numismate_figure.pdf}
\end{center}
}\\
\vskip-0,4 cm
\hspace{1,5 cm}
\parbox{5,5 cm}{\textit{\small{Ci-dessus un billet de $36$ Borduros}}}
\hspace{1 cm}
\parbox{6 cm}{\textit{\small{Le même billet ayant subi un demi-tour}}}
\vskip0,2 cm
%\begin{center}
%\end{center}
%\vskip0,2 cm
Cette réforme sera en partie financée par les très nombreux \og numismaths \fg \, qui mettront un point d'honneur à  réunir la collection intégrale des Borduros. De plus tout citoyen bordure connaîtra enfin ses tables de multiplication.\\
\vskip-0,2 cm
\textbf{On demande :\begin{enumerate}
	\item Un exemple où trois billets différents ont la même valeur.
	\item Le coût en Euros de la collection pour un numismate français, sachant que le cours actuel est de $48$ Borduros pour un Euro.
\end{enumerate}
}
\vskip0,5 cm
\subsection{Tour de plus}
Julie construit une tour en empilant des cubes de la manière suivante :\\
\parbox{6cm}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{TourDePlusAvant.jpg}
\end{center}
}
\hspace{2 cm}
\parbox{6cm}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{TourDePlusDessus.jpg}
\end{center}
}

\hspace*{0,5 cm}
\parbox{7cm}{\textit{\small{Vues avant, arrière, gauche et droite.}}}
\hspace{2 cm}
\parbox{3cm}{\textit{\small{Vue de dessus.}}}

\medskip

Cette tour, de niveau trois, a nécessité $15$ cubes pour la construire. Julie dispose de $200$ cubes.
\begin{center}
\textbf{Après avoir construit la tour la plus haute possible, en respectant à chaque niveau la contrainte indiquée par les dessins, combien lui reste-t-il de cubes ?}
\end{center}




\newpage
\subsection{Sans équerre, ni compas}
On considère deux points A et B, diamètralement opposés sur un cercle $\mathscr(C)$ et un point M n'appartenant pas à $\mathscr(C)$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{SansEquerre.jpg}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Construire la perpendiculaire à (AB) passant par M en utilisant uniquement une règle non graduée... et un crayon.}
\end{center}


\subsection{Jeu de l'oie}
Juliette colorie un anneau comportant $21$ cases numérotées de $1$ à $21$ avec le principe suivant : elle colorie la case n°$1$, puis avance d'une case ; elle arrive alors à la case n°$2$, qu'elle colorie, puis avance de $2$ cases ; elle arrive alors à la case n°$4$, qu'elle colorie, puis avance de $4$ cases, ..., elle arrive alors à la case n°N qu'elle colorie, puis avance de N cases, ...\\
Elle se rend compte qu'au bout de quelques coloriages, elle repasse toujours par les mêmes cases, et qu'il en reste $15$ blanches. Elle décide alors de se dessiner un anneau plus grand (comportant au moins $22$ cases) dans lequel il resterait, après coloriage selon la technique précédente, le moins de cases blanches possibles.\\
\hspace{2 cm}
\begin{center}
\textbf{Pouvez-vous aider Juliette ?}
\end{center}

\vskip0,5 cm
\subsection{La couverture}
La mamie d'Eloïse souhaite réaliser une couverture pour sa petite fille avec des motifs en forme de croix.\\
Chaque croix est composée de cinq carrés de même couleur de $5$ centimètres de côté.\\
Sa mamie dispose de tissus de quatre couleurs différentes, ce qui lui permet de disposer les croix agréablement.\\
La couverture doit mesurer $320$ cm de long et $240$ cm de large et les croix sont agencées comme sur le modèle ci-dessous.\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.8]{couverture.jpg}
\end{center}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Désirant d'abord construire le maximum de croix avant de les assembler, pouvez-vous aider la mamie d'Eloïse à compter combien sa couverture possédera de croix pleines ?}
\end{center}








\newpage
\subsection{Les boulets de la citadelle}
Pour financer son projet de sortie, une classe décide d'acheter $100$ paquets de \og Boulets de la Citadelle \fg \, au prix de $3$ \euro{} pièce.\\
Ceux-ci sont répartis en lots de $1$, $2$ ou $3$ paquets qui sont revendus respectivement $5$ \euro{}, $9$ \euro{} et $13$ \euro{}.\\
Les paquets, répartis en $67$ lots, ont tous été vendus.

\begin{center}
\textbf{Quel est le bénéfice de cette vente ?}
\end{center}

\vskip1 cm
\subsection{Cube et niveau}
Un cube, de six centimètres d'arête, suspendu par deux sommets \textit{A} et \textit{B}, $\left[ AB \right]$ étant horizontal, est représenté en perspective cavalière ci-dessous.\\
Il contient un liquide.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{cube2.pdf}
\end{center}

\textbf{Représenter la surface de ce liquide, en justifiant les différentes étapes, dans les trois cas suivants :\begin{enumerate}
	\item Le cube contient $108$ centimètres cube de liquide.
	\item Le cube contient $54$ centimètres cube de liquide.
	\item Le cube contient $162$ centimètres cube de liquide.
\end{enumerate}
}

\vskip1 cm
\subsection{La hotte du père Joël}
Dans sa nouvelle cabane à frites, Joël a besoin d'une hotte pour évacuer les odeurs.\\
Cette hotte a la forme d'un demi cône de sommet S que l'on a coupé horizontalement.\\
La partie inférieure de cette hotte est un demi cercle horizontal de rayon $45$ cm et la partie supérieure un autre demi cercle horizontal de rayon $20$ cm. Les centres de ces deux cercles sont bien entendu sur la même verticale, et la distance entre les points B et D est de $60$ cm (voir dessin ci-dessous.)\\
\parbox{10cm}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{hotte2.jpg}
\end{center}
}
\parbox{6cm}{
\begin{center}
\textbf{Il s'agit de réaliser un patron de cette hotte à l'échelle $\ds\frac{1}{5}^{\hbox{\scriptsize{\`eme}}}$.}
\end{center}
}




\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 4}
\end{center}

\vspace{4 cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=3]{SansEquerre.jpg}
\end{center}





\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 8}
\end{center}

\parbox{9cm}{
\includegraphics[scale=0.8]{cube2.pdf}
}
\parbox{9cm}{
\includegraphics[scale=0.8]{cube2.pdf}
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{cube2.pdf}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no }
\end{center}


\end{document}
