\section{Le marché péruvien}
\subsection{Le sujet }
Au Pérou, dans les années 1980, la crise économique avait provoqué une hyperinflation (hausse très rapide des prix). \\
Une des conséquences fut le retour du troc dans certaines régions rurales du pays.\\

Manuel produit du maïs qu'il stocke dans des sacs de jute de 20 kg. Pour le prochain mariage de sa fille Mafalda, il souhaite acquérir huit poulets, trois chevreaux 
et deux porcelets.\\

Au marché de la ville voisine, trois poulets s’échangent contre 20 kg de maïs, trois chevreaux s’échangent contre cinq poulets et 19 kg de maïs. 
Enfin, il faut deux chevreaux et deux poulets pour obtenir un porcelet.\\

 \textbf{Quel nombre minimal de sacs de maïs Manuel devra-t-il emmener au marché ? Expliquez votre démarche.}
\subsection{Analyse a priori}
En début de troisième, un élève a les outils permettant de résoudre ce petit problème.\\
Cet exercice mobilise quelques connaissances sur la notion de proportionnalité et de fraction ou éventuellement les bases d'algèbre..\\
Une approximation par excès sera nécessaire pour donner la conclusion.

\subsection{Éléments de solution}
\subsubsection{Solution 1}
Si 3 poulets s’échangent contre 20 kg de maïs, un poulet s'échange contre $\frac{20}{3}$ kg de mais et 8 poulets s’échangeront contre $\frac{160}{3}$  kg de maïs.\\

3 chevreaux s’échangent contre cinq poulets et 19 kg de maïs, donc équivalent à $\frac{100}{3} + 19$ kg de maïs et un chevreau s'échangera contre $\frac{1}{3}(\frac{100}{3} + 19)$ soit $\frac{157}{9}$ kg de maïs.\\

Un porcelet s’échange contre deux chevreaux et deux poulets ; \\
un porcelet s’échangera contre $2 \times \frac{157}{9} + 2 \times \frac{20}{3}$ soit $\frac{434}{9}$ kg de maïs.\\

Manuel devra  donc échanger $\frac{160}{3} + \frac{100}{3} + 19 +  2 \times \frac{434}{9}$ soit $\frac{260}{3} + \frac{868}{9} + 19$ kg de maïs.\\

Manuel devra finalement échanger 202 kg + $\frac{1}{9}$ kg.\\

\textbf{Il faudra donc qu’il prévoit 11 sacs de maïs.}

\subsubsection{Solution 2}
Soient $x, y$ et $z$ les équivalents maïs d'un poulet, d'un chevreau et d'un porcelet respectivement. \\
Les différents échanges se traduisent par le système :\\

\begin{minipage}{8,5cm}

\[\left \{
\begin{array}{r!{~} @{=}!{~} r}
   3x & 20 \\
    3y& 5x + 19 \\
     z & 2x + 2y
\end{array}
\right.  
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{1cm}
$\iff$	
\end{minipage}
\begin{minipage}{8,5cm}
	\[\left \{
	\begin{array}{r!{~} @{=}!{~} r}
	   x & \frac{20}{3} \\
	    y& \frac{1}{3}(5x + 19) \\
	     z & 2x + 2y
	\end{array}
	\right.  
	\]	
\end{minipage}\\

\medskip
Manuel doit échanger pour $8x + 3y + 2z$\\

$8x + 3y + 2z= 8x + 5x+ 19 + \frac{4}{3}(5x+ 19)= (17 + \frac{20}{3})x + 19 (1 + \frac{4}{3})$\\

Comme $x=\frac{20}{3}$, on obtient $8x+3y+2z = \frac{71}{3} \times \frac{20}{3} + 19 \times \frac{7}{3} = \frac{1819}{9}$\\


Manuel devra finalement échanger 202 kg + $\frac{1}{9}$ kg.\\

\textbf{Il faudra donc qu’il prévoit 11 sacs de maïs.}