\section{La ligne noire}
\subsection{Le sujet}

\begin{minipage}{8cm}
Un emballage cadeau a la forme d’une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un carré de 6 cm de côté et dont les arêtes latérales mesurent 12 cm. \\On note $\alpha$ la mesure de l’angle $\widehat{\mathrm{ASB}}$.\\	
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.42,-0.52) rectangle (6.88,7.78);
		\draw (0,0)-- (4,0);
		\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (2,2)-- (0,0);
		\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (2,2)-- (6,2);
		\draw (4,0)-- (6,2);
		\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (3,6.96)-- (2,2);
		\draw (3,6.96)-- (0,0);
		\draw (3,6.96)-- (4,0);
		\draw (3,6.96)-- (6,2);
		\draw [line width=1.6pt] (0,0)-- (3.74,1.82);
		\draw [line width=1.6pt] (4.5,4.47)-- (3.74,1.82);
		\draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 5pt off 5pt] (2.69,5.42)-- (4.5,4.47);
		\draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 5pt off 5pt] (2.43,5.64)-- (2.69,5.42);
		\draw [line width=1.6pt] (2.43,5.64)-- (3,6.96);
		\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.26,-0.02) node {A};
		\fill [color=black] (4,0) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.32,-0.02) node {B};
		\fill [color=black] (6,2) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (6.22,2.18) node {C};
		\fill [color=black] (2,2) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (1.7,2.18) node {D};
		\fill [color=black] (3,6.96) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (3,7.26) node {S};
		\fill [color=black] (3.74,1.82) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.14,1.7) node {A$_1$};
		\fill [color=black] (4.5,4.47) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.8,4.66) node {A$_2$};
		\fill [color=black] (2.69,5.42) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (2.98,5) node {A$_3$};
		\fill [color=black] (2.43,5.64) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (2.14,5.92) node {A$_4$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{minipage}


Cette boite blanche est simplement décorée d’une ligne noire formée de cinq segments tracés de la manière suivante :\\

\begin{itemize}
	\item A$_1$ $\in$~[SB] tel que le triangle ABA$_1$ soit une réduction du triangle SAB.\\
	          Sur la face SAB, la ligne noire [AA$_1$] forme un angle $\alpha$ avec la base [AB]. 
	          \item A$_2$ $\in$~[SC].\\
	Sur la face SBC, la ligne noire [A$_1$A$_2$] forme un angle $\alpha$ avec la base [BC].
	\item A$_3$ $\in$~[SD].\\
	 Sur la face SCD, la ligne noire [A$_2$A$_3$] forme un angle $\alpha$ avec la base [CD].\\
	 \item A$_4$ $\in$~[SA].\\
	Sur la face SDA, la ligne noire [A$_3$A$_4$] forme un angle $\alpha$ avec la base [DA].
	\item Le dernier segment de cette ligne noire est le segment [SA$_4$].
\end{itemize}
\medskip
\textbf{Quelle est la longueur de cette ligne noire ?}
\subsection{Analyse a priori}
Cet exercice a pour objectif de faire des calculs de longueurs sur un solide de l’espace.\\
Après avoir observé que la pyramide est constituée de faces latérales triangulaires et isocèles en S, 
le problème peut être ramené à des calculs de longueurs dans le plan.\\
La présence d’un angle peut engager la réflexion dans la direction de la trigonométrie mais aucun triangle n’est rectangle. 
Cette piste conduit à une impasse. \\
La construction d’un patron à l’échelle peut aider à analyser le problème et même permettre de repérer la longueur de la ligne noire.\\
La régularité de la pyramide permet de rapporter le problème à un calcul de distances dans le plan et le théorème de Thalès peut alors s’appliquer.



\subsection{Éléments de solution}
\begin{center}
    \definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
    \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
    \clip(-0.45,-2.4) rectangle (12.97,7.69);
    \draw (0,0)-- (4,0);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (2,2)-- (0,0);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (2,2)-- (6,2);
    \draw (4,0)-- (6,2);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (3,6.96)-- (2,2);
    \draw (3,6.96)-- (0,0);
    \draw (3,6.96)-- (4,0);
    \draw (3,6.96)-- (6,2);
    \draw [line width=1.6pt] (0,0)-- (3.74,1.82);
    \draw [line width=1.6pt] (4.5,4.47)-- (3.74,1.82);
    \draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (2.69,5.42)-- (4.5,4.47);
    \draw [line width=1.6pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (2.43,5.64)-- (2.69,5.42);
    \draw [line width=1.6pt] (2.43,5.64)-- (3,6.96);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (3.74,1.82)-- (5.21,3.3);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (4.5,4.47)-- (2.5,4.47);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (2.69,5.42)-- (2.07,4.8);
    \draw (1.71,-1.6) node[anchor=north west] {Figure 1};
    \draw (8.01,-0.82)-- (12.02,-0.8);
    \draw (9.98,6.99)-- (8.01,-0.82);
    \draw (9.98,6.99)-- (12.02,-0.8);
    \draw (8.01,-0.82)-- (9.98,6.99);
    \draw [line width=1.6pt] (8.01,-0.82)-- (11.53,1.11);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (11.53,1.11)-- (8.49,1.09);
    \draw [line width=1.6pt] (11.53,1.11)-- (8.85,2.54);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (8.85,2.54)-- (11.14,2.55);
    \draw [line width=1.6pt] (8.85,2.54)-- (10.86,3.64);
    \draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (10.86,3.64)-- (9.13,3.63);
    \draw [line width=1.6pt] (10.86,3.64)-- (9.34,4.46);
    \draw [line width=1.6pt] (9.34,4.46)-- (9.98,6.99);
    \draw (9.25,-1.64) node[anchor=north west] {Figure 2};
    \begin{scriptsize}
        %figure 2
    \draw (9.8,7.45) node[anchor=north west] {S};
    \draw (7.5,-0.61) node[anchor=north west] {A};
    \draw (12.1,-0.61) node[anchor=north west] {B};
    \draw (11.6,1.32) node[anchor=north west] {A$_1$};
    \draw (7.9,1.32) node[anchor=north west] {B$_1$};
    \draw (8.2,2.74) node[anchor=north west] {A$_2$};
    \draw (11.2,2.74) node[anchor=north west] {B$_2$};
    \draw (11,3.86) node[anchor=north west] {A$_3$};
    \draw (8.53,3.85) node[anchor=north west] {B$_3$};
    \draw (8.68,4.8) node[anchor=north west] {A$_4$};
    
   %figure 1 
    \fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (-0.23,-0.06) node {$A$};
    \fill [color=black] (4,0) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (4.15,-0.15) node {$B$};
    \fill [color=black] (6,2) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (6.15,2.16) node {$C$};
    \fill [color=black] (2,2) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (1.81,2.16) node {$D$};
    \fill [color=black] (3,6.96) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (3.01,7.23) node {$S$};
    \fill [color=black] (3.74,1.82) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (4.04,1.73) node {$A_1$};
    \fill [color=black] (4.5,4.47) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (4.77,4.63) node {$A_2$};
    \fill [color=black] (2.69,5.42) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (3,5.56) node {$A_3$};
    \fill [color=black] (2.43,5.64) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (2.24,5.89) node {$A_4$};
    \fill [color=uququq] (5.21,3.3) circle (0.5pt);
    \draw[color=uququq] (5.46,3.47) node {$B_1$};
    \fill [color=uququq] (2.5,4.47) circle (0.5pt);
    \draw[color=uququq] (2.25,4.31) node {$B_2$};
    \fill [color=uququq] (2.07,4.8) circle (0.5pt);
    \draw[color=uququq] (1.81,4.92) node {$B_3$};
    \end{scriptsize}
    \end{tikzpicture}
\end{center}
\medskip
\begin{center}
    \definecolor{zzzzzz}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
    \begin{tikzpicture}[scale=0.67][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
    \clip(-9.5,-10.38) rectangle (13.8,7.2);
    \draw [shift={(9.62,3)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (165.52:1.24) arc (165.52:194.48:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(-2,6)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-90:1.24) arc (-90:-61.04:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(4.72,-1.64)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-32.09:1.24) arc (-32.09:-3.13:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(0.9,0.75)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-61.04:1.24) arc (-61.04:-32.09:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(8.09,-1.83)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-3.13:1.24) arc (-3.13:25.82:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(-2,0)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-90:1.24) arc (-90:-61.04:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(0.9,-5.25)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-61.04:1.24) arc (-61.04:-32.09:1.24) -- cycle;
    \draw [shift={(5.99,-8.44)},fill=black,fill opacity=0.2] (0,0) -- (-32.09:1.24) arc (-32.09:-3.13:1.24) -- cycle;
    \draw (-2,6)-- (9.62,3);
    \draw (9.62,3)-- (-2,0);
    \draw (-2,0)-- (-2,6);
    \draw (-2,0)-- (0.9,-5.25);
    \draw (0.9,-5.25)-- (5.99,-8.44);
    \draw (5.99,-8.44)-- (11.98,-8.77);
    \draw (9.62,3)-- (0.9,-5.25);
    \draw (9.62,3)-- (5.99,-8.44);
    \draw (9.62,3)-- (11.98,-8.77);
    \draw [line width=2.8pt] (-2,6)-- (0.9,0.75);
    \draw [line width=2.8pt] (0.9,0.75)-- (4.72,-1.64);
    \draw [color=zzzzzz] (4.72,-1.64)-- (7.58,-3.43);
    \draw [line width=2.8pt] (4.72,-1.64)-- (8.09,-1.83);
    \draw [color=zzzzzz] (8.09,-1.83)-- (10.61,-1.96);
    \draw [color=zzzzzz] (-2,6) -- (-2,-4);
    \draw [color=zzzzzz,domain=-2.0:13.796193629229526] plot(\x,{(-10.5-5.25*\x)/2.9});
    \draw [color=zzzzzz,domain=0.9047375096555612:13.796193629229526] plot(\x,{(-23.8-3.19*\x)/5.08});
    \draw [line width=2.8pt] (8.09,-1.83)-- (10.37,-0.72);
    \draw [color=zzzzzz] (0.9,0.75)-- (3.08,-3.19);
    \draw (-2,6)-- (-2,0);
    \draw [line width=2.8pt] (10.37,-0.72)-- (9.62,3);
    \draw (-8,6)-- (-8,0);
    \draw (-8,6)-- (-2,6);
    \draw (-8,0)-- (-2,0);
    \draw (-8.8,-5) node[anchor=north west] {Patron de la pyramide};
    \draw (-8.8,-5.8) node[anchor=north west]{et tracé de la ligne noire};
    
    \draw (-6.93,-3.06) node[anchor=north west]{Figure 3};
    \begin{scriptsize}
    \fill [color=black] (-2,6) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (-2.08,6.71) node {$A$};
    \fill [color=black] (-2,0) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (-2.54,-0.49) node {$B$};
    \fill [color=black] (9.62,3) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (9.91,3.35) node {$S$};
    \draw[color=black] (7.9,3.05) node {$\alpha$};
    \fill [color=black] (0.9,-5.25) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (0.15,-5.41) node {$C$};
    \fill [color=black] (5.99,-8.44) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (5.73,-9.09) node {$D$};
    \fill [color=black] (11.98,-8.77) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (12.72,-8.85) node {A};
    \fill [color=black] (0.9,0.75) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (1.35,1.62) node {$A_1$};
    \draw[color=black] (-1.6,4.39) node {$\alpha$};
    \fill [color=black] (4.72,-1.64) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (4.82,-0.74) node {$A_2$};
    \fill [color=black] (8.09,-1.83) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (7.84,-1.19) node {$A_3$};
    \draw[color=black] (6.5,-2.22) node {$\alpha$};
    \fill [color=black] (10.37,-0.72) circle (0.5pt);
    \draw[color=black] (10.98,-0.37) node {$A_4$};
    \draw[color=black] (2.05,-0.4) node {$\alpha$};
    \draw[color=black] (9.8,-1.48) node {$\alpha$};
    \draw[color=black] (-1.6,-1.61) node {$\alpha$};
    \draw[color=black] (2.1,-6.46) node {$\alpha$};
    \draw[color=black] (7.85,-8.95) node {$\alpha$};
    \end{scriptsize}
    \end{tikzpicture}
\end{center}
\newpage
Tous les triangles A$_i$B$_i$A$_{i+1}$  pour $0\leqslant i\leqslant 3$  avec A$_0$ = A  et B$_0$ = B , sont des réductions successives du triangle initial SAB  isocèle en S  dont la base mesure la moitié du côté. Ils sont donc de même nature et de mêmes proportions que le triangle initial.\\

De plus, les segments de la ligne noire de la figure 1 pourraient tout aussi bien être tracés sur la seule face SAB comme le montre la figure 2 ou la figure 3.\\

Déterminer la longueur du trajet total consiste donc à ajouter les longueurs des segments [A$_i$A$_{i+1}$]  pour $0\leqslant i\leqslant 3$ , A$_0$  correspondant au point A .\\
\begin{itemize}
    \item Calcul de AA$_1$ :\\
	 ABA$_1$ est isocèle en A et AB = 6 cm, donc \textcolor{red}{AA$_1$ = 6 cm}.\\
\end{itemize}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{itemize}
	
	\item Calcul de A$_1$A$_2$ :\\
	Le triangle ABA$_1$ est une réduction de SAB,\\ donc BA$_1$ = $\frac{1}{2}$AB = 3 cm.\\
	L'application du théorème de Thalès \\dans le triangle SAB, dans lequel B$_1 \in$ [SA] et\\ A$_1 \in$ [SB] et (A$_1$B$_1$) parallèle à (AB) donne :\\
	
	$\dfrac{\mathrm{SA}_1}{\mathrm{SB}} = \dfrac{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}{\mathrm{AB}}$ c'est à dire $\dfrac{12-3}{12} = \dfrac{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}{6}$\\
	
	et ainsi A$_1$B$_1$ = 4,5 cm.\\
	
	Comme A$_1$B$_1$A$_2$ est isocèle en A$_1$, \\ on en déduit que \textcolor{red}{A$_1$A$_2$ = 4,5 cm}.
	\end{itemize}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
	\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
	\definecolor{cccccc}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
	\shorthandoff{:}
	\begin{tikzpicture}[scale = 0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-4.89,-3.98) rectangle (7,10.43);
	\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,9.62) -- (-3,-2) -- (3,-2) -- cycle;
	\draw (-3,-2)-- (3,-2);
	\draw (0,-1.88) -- (0,-2.12);
	\draw (0,9.62)-- (-3,-2);
	\draw (0,9.62)-- (3,-2);
	\draw [color=cccccc] (-4.89,0.91)-- (5.35,0.91);
	\draw [color=cccccc](-4.89,3.09)-- (5.35,3.09);
	\draw [color=cccccc] (-4.89,4.72)-- (5.35,4.72);
	\draw [line width=1.5pt] (-3,-2)-- (2.25,0.91);
	\draw [line width=0.8pt] (-0.45,-0.41) -- (-0.3,-0.68);
	\draw [line width=1.5pt] (2.25,0.91)-- (-1.69,3.09);
	\draw [line width=1.5pt] (-1.69,3.09)-- (1.26,4.72);
	\draw [line width=1.5pt] (1.26,4.72)-- (-0.95,5.95);
	\draw [line width=1.5pt] (-0.95,5.95)-- (0,9.62);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-1.26,4.72)-- (1.26,4.72);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-1.69,3.09)-- (1.69,3.09);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-2.25,0.91)-- (2.25,0.91);
	\begin{scriptsize}
	\draw (-1.2,-2.59) node[anchor=north west] {AB = 6};
	\draw (3.6,2.97) node[anchor=north west] {SB = 12};
	\draw (3.78,-0.17) node[anchor=north west] {A$_1$B = 3};
	\draw [color=zzttqq] (0,9.62)-- (-3,-2);
	\draw [color=zzttqq] (-3,-2)-- (3,-2);
	\draw [color=zzttqq] (3,-2)-- (0,9.62);
	
	\fill [color=black] (-3,-2) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-3.5,-1.8) node {A};
	\fill [color=black] (3,-2) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (3.36,-1.8) node {B};
	\fill [color=black] (0,9.62) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (0,10.09) node {S};
	\fill [color=black] (2.25,0.91) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (2.7,1.37) node {A$_1$};
	\fill [color=black] (-2.25,0.91) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-2.67,1.37) node {B$_1$};
	\fill [color=black] (-1.69,3.09) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-2.22,3.51) node {A$_2$};
	\fill [color=black] (1.69,3.09) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (2.1,3.51) node {B$_2$};
	\fill [color=black] (1.26,4.72) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (1.75,5.13) node {A$_3$};
	\fill [color=black] (-1.26,4.72) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-1.85,5.13) node {B$_3$};
	\fill [color=black] (-0.95,5.95) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-1.6,6.31) node {A$_4$};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}	
\end{minipage}\\

\begin{minipage}{11cm}
\begin{itemize}
		\item Calcul de A$_2$A$_3$ :\\
	Le triangle B$_1$A$_1$A$_2$ est une réduction de SAB,\\ donc B$_1$A$_2$ = $\frac{1}{2}$A$_1$B$_1$ = 2,25 cm.\\
	L'application du théorème de Thalès \\dans le triangle SA$_1$B$_1$, dans lequel B$_2 \in$ [SA$_1$] et\\ A$_2 \in$ [SB$_1$] et (A$_2$B$_2$) parallèle à (A$_1$B$_1$) donne :\\
	
	$\dfrac{\mathrm{SA}_2}{\mathrm{SB}_1} = \dfrac{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}$ c'est à dire $\dfrac{9-2,25}{9} = \dfrac{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}{4,5}$\\
	
	et ainsi A$_2$B$_2$ = 3,375 cm.\\
	
	Comme A$_2$B$_2$A$_3$ est isocèle en A$_2$, \\ on en déduit que \textcolor{red}{A$_2$A$_3$ = 3,375 cm}.
	\end{itemize}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
	\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
	\definecolor{cccccc}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-6.6,-3.98) rectangle (5.35,10.43);
	\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,9.62) -- (-3,-2) -- (3,-2) -- cycle;
	\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,9.62) -- (-2.25,0.91) -- (2.25,0.91) -- cycle;
	\draw (-3,-2)-- (3,-2);
	%\draw (0,-1.88) -- (0,-2.12);
	\draw (0,9.62)-- (-3,-2);
	\draw (0,9.62)-- (3,-2);
	\draw [color=cccccc] (-4.89,0.91)-- (5.35,0.91);
	\draw [color=cccccc](-4.89,3.09)-- (5.35,3.09);
	\draw [color=cccccc] (-4.89,4.72)-- (5.35,4.72);
	\draw [line width=1.5pt] (-3,-2)-- (2.25,0.91);
	%\draw [line width=1.5pt] (-0.45,-0.41) -- (-0.3,-0.68);
	\draw [line width=1.5pt] (2.25,0.91)-- (-1.69,3.09);
	\draw [line width=0.8pt] (0.26,1.83) -- (0.41,2.1);
	\draw [line width=0.8pt] (0.15,1.9) -- (0.3,2.17);
	\draw [line width=1.5pt] (-1.69,3.09)-- (1.26,4.72);
	\draw [line width=1.5pt] (1.26,4.72)-- (-0.95,5.95);
	\draw [line width=1.5pt] (-0.95,5.95)-- (0,9.62);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-1.26,4.72)-- (1.26,4.72);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-1.69,3.09)-- (1.69,3.09);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-2.25,0.91)-- (2.25,0.91);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-0.05,1.04) -- (-0.05,0.78);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (0.05,1.04) -- (0.05,0.78);
	\begin{scriptsize}
%	\draw (-0.34,-2.59) node[anchor=north west] {AB = 6};
	\draw [color=zzttqq] (0,9.62)-- (-3,-2);
	\draw [color=zzttqq] (-3,-2)-- (3,-2);
	\draw [color=zzttqq] (3,-2)-- (0,9.62);
	\draw [color=zzttqq] (0,9.62)-- (-2.25,0.91);
	\draw [color=zzttqq] (-2.25,0.91)-- (2.25,0.91);
	\draw [color=zzttqq] (2.25,0.91)-- (0,9.62);
	
	\draw (-6.5,0.6) node[anchor=north west] {B$_1$A$_1$ = 4,5};
	\draw (-6.5,2.6) node[anchor=north west] {A$_2$B$_1$ = 2,25};
	\draw (-6.5,6.72) node[anchor=north west] {SB$_1$ = 9};
	
	\fill [color=black] (-3,-2) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-3.3,-1.77) node {A};
	\fill [color=black] (3,-2) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (3.3,-1.76) node {B};
	\fill [color=black] (0,9.62) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (0,10.09) node {S};
	\fill [color=black] (2.25,0.91) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (2.65,1.24) node {A$_1$};
	\fill [color=black] (-2.25,0.91) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-2.6,1.27) node {B$_1$};
	\fill [color=black] (-1.69,3.09) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-2.1,3.51) node {A$_2$};
	\fill [color=black] (1.69,3.09) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (2.20,3.43) node {B$_2$};
	\fill [color=black] (1.26,4.72) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (1.75,5.1) node {A$_3$};
	\fill [color=black] (-1.26,4.72) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-1.6,5.13) node {B$_3$};
	\fill [color=black] (-0.95,5.95) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-1.45,6.31) node {A$_4$};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}
\end{center}	
\end{minipage}
\newpage
\begin{minipage}{11cm}
\begin{itemize}
		\item Calcul de A$_3$A$_4$ :\\
	Le triangle B$_2$A$_2$A$_3$ est une réduction de SAB,\\ donc B$_2$A$_3$ = $\frac{1}{2}$A$_2$B$_2$ = 1,6875 cm.\\
	L'application du théorème de Thalès \\dans le triangle SA$_2$B$_2$, dans lequel B$_3 \in$ [SA$_2$] et\\ A$_3 \in$ [SB$_2$] et (A$_3$B$_3$) parallèle à (A$_2$B$_2$) donne :\\
	
	$\dfrac{\mathrm{SA}_3}{\mathrm{SB}_2} = \dfrac{\mathrm{A}_3\mathrm{B}_3}{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}$ c'est à dire $\dfrac{6,75-1,6875}{6,75} = \dfrac{\mathrm{A}_3\mathrm{B}_3}{3,375}$\\
	
	et ainsi A$_3$B$_3$ = 2,53125 cm.\\
	
	Comme A$_3$B$_3$A$_4$ est isocèle en A$_3$, \\ on en déduit que \textcolor{red}{A$_3$A$_4$ = 2,53125 cm}.
	\end{itemize}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
	\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
	\definecolor{cccccc}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-4.89,-3.98) rectangle (8,10.43);
	\fill[line width=1.6pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,9.62) -- (-3,-2) -- (3,-2) -- cycle;
	\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0,9.62) -- (-1.69,3.09) -- (1.69,3.09) -- cycle;
	\draw (-3,-2)-- (3,-2);
	\draw (0,9.62)-- (-3,-2);
	\draw (0,9.62)-- (3,-2);
	\draw [color=cccccc] (-4.89,0.91)-- (5.35,0.91);
	\draw [color=cccccc](-4.89,3.09)-- (5.35,3.09);
	\draw [color=cccccc] (-4.89,4.72)-- (5.35,4.72);
	\draw [line width=1.5pt] (-3,-2)-- (2.25,0.91);
	\draw [line width=1.5pt] (2.25,0.91)-- (-1.69,3.09);
	\draw [line width=1.5pt] (-1.69,3.09)-- (1.26,4.72);
	\draw [line width=0.8pt] (-0.4,3.98) -- (-0.25,3.71);
	\draw [line width=0.8pt] (-0.29,4.04) -- (-0.14,3.77);
	\draw [line width=0.8pt] (-0.17,4.1) -- (-0.02,3.83);
	\draw [line width=1.5pt] (1.26,4.72)-- (-0.95,5.95);
	\draw [line width=1.5pt] (-0.95,5.95)-- (0,9.62);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-1.26,4.72)-- (1.26,4.72);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-1.69,3.09)-- (1.69,3.09);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-0.1,3.22) -- (-0.1,2.96);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (0,3.22) -- (0,2.96);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (0.1,3.22) -- (0.1,2.96);
	\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 6pt off 6pt] (-2.25,0.91)-- (2.25,0.91);
	\draw [color=zzttqq] (0,9.62)-- (-3,-2);
	\draw [color=zzttqq] (-3,-2)-- (3,-2);
	\draw [color=zzttqq] (3,-2)-- (0,9.62);
	\begin{scriptsize}
	\draw (3,4.58) node[anchor=north west] {A$_3$B$_2$ = 1,6875};
	\draw (3,2.89) node[anchor=north west] {A$_2$B$_2$ = 3,375};
	\draw (3,6.16) node[anchor=north west] {SB$_2$ = 6,75};
	\draw [color=zzttqq] (0,9.62)-- (-1.69,3.09);
	\draw [color=zzttqq] (-1.69,3.09)-- (1.69,3.09);
	\draw [color=zzttqq] (1.69,3.09)-- (0,9.62);

	\fill [color=black] (-3,-2) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-3.4,-1.77) node {A};
	\fill [color=black] (3,-2) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (3.3,-1.75) node {B};
	\fill [color=black] (0,9.62) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (0,10.09) node {S};
	\fill [color=black] (2.25,0.91) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (2.65,1.24) node {A$_1$};
	\fill [color=black] (-2.25,0.91) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-2.67,1.27) node {B$_1$};
	\fill [color=black] (-1.69,3.09) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-2.3,3.51) node {A$_2$};
	\fill [color=black] (1.69,3.09) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (2.15,3.43) node {B$_2$};
	\fill [color=black] (1.26,4.72) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (1.75,5.1) node {A$_3$};
	\fill [color=black] (-1.26,4.72) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-1.75,5.13) node {B$_3$};
	\fill [color=black] (-0.95,5.95) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-1.54,6.31) node {A$_4$};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}
\end{center}	
\end{minipage}

\begin{itemize}
	\item Calcul de A$_4$S :\\
	Le triangle B$_3$A$_3$A$_4$ est une réduction de SAB,\\ donc B$_3$A$_4$ = $\frac{1}{2}$A$_3$B$_3$ = 1,26563 cm.\\
	
	et \textcolor{red}{SA$_4$ = 5,0625 -1,265625 = 3,79687 cm.}\\
	
	La longueur de la ligne noire est :\\
	
	AA$_1$ + A$_1$A$_2$ + A$_2$A$_3$ + A$_3$A$_4$ + SA$_4$ = 6 + 4,5 + 3,375 + 2,53125 + 3,79687 = 20,20312 cm.\\
\end{itemize}
\medskip	
\textbf{    Conclusion : La longueur de la ligne noire est de 20,20312 cm.}

\subsection{Prolongement possible de l'activité}
Il s'agirait de poursuivre la construction des points A$_i$  indéfiniment et se demander si l’on peut atteindre le sommet S.\\

Les segments [A$_i$A$_{i+1}$]   pour  $0\leqslant i \leqslant 3$ , étant construits selon le même algorithme, il vient donc naturellement à l’esprit de faire appel à un outil comme Algobox pour réaliser le calcul de la longueur de la ligne noire.\\

Le principe en est le suivant :
\begin{itemize}
	\item C'est la variable $l$ qui, à chaque étape reçoit la longueur de ce segment [A$_i$A$_{i+1}$].
	\item 	$s$  est la somme des longueurs des segments [A$_i$A$_{i+1}$]  réalisés, le premier étant [AA$_1$].
	\item $b$ est la longueur  des côtés  SB$_i$ des triangles. La première valeur prise par $b$ est 12. Le point B de départ pourrait être nommé B$_0$.
	\item  $x$ est la longueur des côtés [B$_i$A$_{i+1}$] . La première valeur prise par $x$ est BA$_1$.
	\item $y$ est la longueur du segment [A$_i$B$_i$] . La première valeur prise par $y$  est AB = 6 . A chaque étape, la valeur de $y$  est déterminée à l’aide du théorème de Thalès.
	\item Le triangle B$_i$A$_i$A$_{i+1}$  étant isocèle en A$_i$ , $l$  prend la valeur du dernier $y$  calculé.\\
	
\medskip	  
	
\end{itemize}

En toute logique, on demande à l’algorithme de calculer ce trajet tant que la variable  $l$ est non nulle (ce qui correspondrait à notre arrivée en S. Seulement, cela ne se produit pas ! $l$  tend vers 0 !!! \\
On modifie donc l’algorithme pour lui demande de répéter le calcul tant que $l>0,01$.\\


	
\begin{minipage}{10 cm}
	

\begin{center}
	

\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     s EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     x EST_DU_TYPE NOMBRE
5     y EST_DU_TYPE NOMBRE
6     l EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     s PREND_LA_VALEUR 0
9     b PREND_LA_VALEUR 12
10    x PREND_LA_VALEUR 0
11    y PREND_LA_VALEUR 6
12    l PREND_LA_VALEUR y
13    TANT_QUE (l>0.01) FAIRE
14      DEBUT_TANT_QUE
15      l PREND_LA_VALEUR y
16      x PREND_LA_VALEUR y/2
17      y PREND_LA_VALEUR ((b-x)/b)*y
18      b PREND_LA_VALEUR b-x
19      s PREND_LA_VALEUR s+l
20      FIN_TANT_QUE
21    AFFICHER "La longueur totale est égale à "
22    AFFICHER s
23    AFFICHER " cm"
24  FIN_ALGORITHME

\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{center}	
\end{minipage}
	\begin{minipage}{8cm}
Le logiciel affiche pour longueur totale :\\

\hspace{2cm} s = 23.975919	cm	
	\end{minipage}


