\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%Définition de la mise en page
\usepackage{geometry} 
\geometry{body={18cm,27cm}}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0 cm}
\renewcommand{\thesubsection}{Exercice \arabic{subsection} -}
%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATH\'EMATIQUE DE FRANCHE-COMT\'E}

\smallskip
\textbf{Qualifications du mardi 7 f\'evrier 2006}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

\bigskip
Les classes de troisi\`eme doivent r\'esoudre les exercices 1 \`a 6.

Les classes de seconde doivent r\'esoudre les exercices 4 \`a 9.
La classe doit rendre une seule r\'eponse par exercice trait\'e.

\bigskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

\subsection{Toile de nombres}

\medskip
\parbox{11 cm}{
On consid\`ere trente octogones r\'eguliers, de m\^eme centre $O$. 

\medskip
Aux sommets de l'octogone central, on note les huit premiers nombres impairs.

\medskip
Sur les sommets du deuxi\`eme octogone, on inscrit les huit nombres impairs suivants, avec une rotation de 45
degr\'es autour du point $O$.
\medskip
Ainsi de suite jusqu'au trenti\`eme octogone.

\medskip
\textit{(Voir ci-contre une figure repr\'esentant les quatre premiers octogones).}}
\hspace{1 cm}
%\parbox{5 cm}{\includegraphics[scale=.7]{toilefig.1}}

\medskip
\begin{center}
\textbf{Placer les nombres associ\'es aux sommets du trenti\`eme octogone sur la fiche r\'eponse.}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\subsection{Rectangle d'or}
Un rectangle  est appel\'e \textbf{rectangle d'or}\textit{} lorsque le quotient $\dfrac{longueur}{largeur}$
est
\'egal
\`a $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

\medskip
\parbox{11 cm}{Le rectangle ci-contre est un rectangle d'or.}
\hspace{1 cm}
%\parbox{5 cm}{\includegraphics{rectangledorfig.1}}

\vspace{1 cm}
\parbox{11 cm}{\textbf{Construire un rectangle d'or dont la largeur est $\ell$}}
\hspace{1 cm}
%\parbox{5 cm}{\includegraphics{rectangledorfig.2}}

\vspace{1 cm}
\parbox{11 cm}{\textbf{Construire un rectangle d'or dont la longueur est $L$}}
\hspace{1 cm}
%\parbox{5 cm}{\includegraphics{rectangledorfig.3}}

\medskip
\begin{center}
Les constructions se font \`a la r\`egle et au compas.
\end{center}

\vspace{1 cm}
\subsection{La montre}

\medskip
Une montre \`a affichage digital donne les heures et les minutes de 00:00 \`a 23:59.

\bigskip
\textbf{D\'eterminer le nombre d'affichages o\`u les chiffres 1, 2 et 3 apparaissent simultan\'ement sur
l'\'ecran.}


\newpage
\subsection{D\'e dod\'eca\`edrique}

\medskip
On consid\`ere un d\'e \`a 12 faces hexagonales (dod\'eca\'edrique) avec sur chacune de ses douze faces les entiers de 1 \`a 12.

\medskip
Le joueur lance le d\'e et marque l'inverse du r\'esultat de son jet. Ainsi, la sortie du 7 lui donne 1/7 de point. On ajoute les points obtenus aux lancers
successifs.


\medskip
Le but du jeu est d'atteindre 1 en respectant les trois conditions suivantes : 
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] tout joueur d\'epassant 1 est \'elimin\'e;
\item[$\bullet$] tout joueur ayant eu 3 fois le m\^eme r\'esultat est \'elimin\'e ;
\item[$\bullet$] le nombre de lancers est au plus \'egal \`a 4.
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\textbf{On demande toutes les s\'eries de r\'esultats permettant d'arriver \`a 1.}
\end{center}

\textit{L'ordre des r\'esultats des lancers \'etant sans int\'er\^et, on pourra par exemple donner les s\'eries gagnantes sous forme d\'ecroissante.
}

\vspace{1 cm}
\subsection{Escalator}

\medskip
\parbox{8 cm}{Un cube d'ar\^ete $2$ dm descend l'escalier ci-dessous en pivotant \`a chaque marche autour d'une
de ses ar\^etes. La profondeur et la hauteur de chaque marche mesurent aussi $2$ dm.

\medskip
\textbf{Les sommets auront-ils tous parcouru la m\^eme distance ?}

\medskip
Vous expliciterez votre d\'emarche.}
%\hspace{1.5 cm}
%\parbox{8 cm}{\includegraphics[scale=0.5]{cubefig.1}
%\includegraphics[scale=0.5]{cubefig.2}

\medskip
\begin{center}
\textit{Sch\'emas en coupe de l'escalier}
\end{center}


\vspace{1 cm}
\subsection{Jeu de d\'es}

\medskip
Quatre amis jouent aux d\'es. 

\medskip
Chacun poss\`ede une somme au d\'epart qu'il place devant lui. 

\medskip
L'attribution
des gains se fait de la mani\`ere suivante :
\`a
 chaque partie, le perdant paie aux trois autres le montant exact de la somme que chacun a plac\'e devant lui.

\medskip
Apr\`es quatre parties, il se trouve que chacun a perdu une seule partie, et qu'ils ont chacun exactement 80
\EUR { }devant eux.

\medskip
\begin{center}
\textbf{Quelles sont les quatre sommes qu'ils avaient devant eux au d\'epart ?}
\end{center}


\newpage
\subsection{Pavage}

\medskip
On peut paver un carr\'e d'aire 180 cm$^2$ avec 20 triangles rectangles identiques. 

\begin{center}
\textbf{Comment faire ? D\'eterminer les dimensions des c\^ot\'es des triangles rectangles.}
\end{center}

\subsection{Rosace}

\medskip
La rosace ci-dessous a \'et\'e trac\'ee \`a partir de la premi\`ere figure. 

\medskip
Les deux cercles de rayons 1 et 3 sont tangents.

\parbox{8 cm}
%\begin{center}
%\includegraphics[scale = 1]{rosacefig.1}
%\end{center}

\hspace{1 cm}
%\parbox{8 cm}{\begin{center}
%\includegraphics[scale = .6]{rosacefig.2}
%\end{center}


\begin{center}
\textbf{Calculer l'aire de cette rosace.}
\end{center}

 \subsection{Skate}

\medskip
Jean-Louis, maire d'une petite ville, a rep\'er\'e pendant ses vacances une superbe piste de skateboard. S\'eduit, il a fait un croquis et pris
quelques mesures.

Jean-Louis propose \`a son conseil municipal de construire une piste semblable, dans la m\^eme mati\`ere en b\'eton plein.
Il dispose d'un terrain
rectangulaire de 15 m\`etres de longueur et de 8 m\`etres de largeur, et il doit laisser, pour la
s\'ecurit\'e, une bande de terrain d'au moins trois m\`etres tout autour de la piste.

\textbf{Calculer le volume de b\'eton n\'ecessaire pour construire cette piste aux dimensions optimales.}

\vspace{1 cm}
\parbox{7 cm}{\begin{center}
%\includegraphics[scale = 0.8]{skatefig.1}

\medskip
Vue en perspective
\end{center}
}
\hspace{3 cm}
\parbox{7 cm}{\vspace*{1 cm}\begin{center}
%\includegraphics[scale = 0.8]{skatefig.2}

\vspace{0.5 cm}
Vue de face
\end{center}}



%Fiches r\'eponses
\newpage
\textit{Classe, nom du professeur  et \'etablissement} : 

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'eponse de l'exercice n\textdegree 1 }
\end{center}

\vspace*{2 cm}

%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.6]{toilefig.2}
%\end{center}

\vspace{2 cm}
Le trenti\`eme octogone est repr\'esent\'e par le grand octogone (la figure n'est pas \`a l'\'echelle) :
inscrire \`a chaque sommet de cet octogone le nombre qui convient.

\newpage
\textit{Classe, nom du professeur  et \'etablissement} : 

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'eponse de l'exercice n\textdegree 2 }
\end{center}

\vspace*{1 cm}
\textbf{Les constructions se font \`a la r\`egle et au compas.}

\vspace*{1 cm}
\parbox{11 cm}{\textbf{Construire un rectangle d'or dont la largeur est $\ell$}}
\hspace{1 cm}
%\parbox{5 cm}{\includegraphics{rectangledorfig.2}}

\vspace{10 cm}
\parbox{11 cm}{\textbf{Construire un rectangle d'or dont la longueur est $L$}}
\hspace{1 cm}
%\parbox{5 cm}{\includegraphics{rectangledorfig.3}}



\end{document}