\section{Quadratestadt}
\subsection{Le sujet}
\begin{minipage}{10cm}
	Le centre de la ville de Mannheim, en Allemagne, a été détruit par les bombardements alliés de 1945. Il a été reconstruit « au carré »,	c’est pourquoi Mannheim est surnommée « Quadratestadt » (ville carrée).\\
	Les rues, régulièrement espacées, forment un réseau de carrés de 100 mètres de côté.\\
	La signalisation urbaine indique les « blocks »  ou pâtés de maisons (voir photo ci-contre et plan ci-dessous).\\


	
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
	\begin{center}
	\includegraphics{B2}	
	\end{center}
	
\end{minipage}
Chaque maison ou immeuble d’un block a une unique sortie.\\
D’autre part, pour la circulation automobile, les rues sont à sens unique, deux parallèles voisines étant orientées différemment (voir flèches sur le plan ci-dessous). Les cyclistes, quant à eux, peuvent rouler à contre-sens.\\
\newpage
Selon le plan de circulation, un véhicule circulant du nord au sud ou inversement est prioritaire et un véhicule roulant de l'est à l'ouest ou de l'ouest à l'est aura un « stop » à chaque intersection.

Nous admettons que :
\begin{itemize}
	\item Un véhicule ne s’arrête que s’il a un stop. Le temps de traversée d’une rue est négligeable
	(considéré comme nul).
	\item Une voiture parcourt le côté d’un block en 8 secondes. \\Chaque stop (arrêt, redémarrage) lui coûte 15 secondes. 
	\item Un vélo parcourt le côté d’un block en 15 secondes. \\Chaque stop (arrêt, redémarrage) lui coûte 5 secondes.
\end{itemize}
\medskip
Karl possède un vélo et une voiture. Il doit se rendre d’une adresse située dans un des angles du block B3 à une adresse située dans un des angles du block F10.\\

Karl prend sa voiture et réalise le trajet en moins de trois minutes.\\


\textbf{Déterminer le point de départ, le point d’arrivée et l’itinéraire choisi par Karl.}\\
\textbf{Pour le même trajet, aurait-il pu mettre moins de 3 minutes avec son vélo ?}


\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-4.88,-4.06) rectangle (6.66,7.28);
	\draw (-4,5)-- (4,5);
	\draw (-4.52,5)-- (4.6,5);
	\draw (-4.52,4)-- (4.6,4);
	\draw (-4.52,3)-- (4.6,3);
	\draw (-4.52,2)-- (4.6,2);
	\draw (-4.52,1)-- (4.6,1);
	\draw (-4.52,0)-- (4.6,0);
	\draw (-4.52,-1)-- (4.6,-1);
	\draw (-4.52,-2)-- (4.6,-2);
	\draw (-4.52,-3)-- (4.6,-3);
	\draw (-4,5.56)-- (-4,-3.66);
	\draw (-3,5.56)-- (-3,-3.66);
	\draw (-2,5.56)-- (-2,-3.66);
	\draw (-1,5.56)-- (-1,-3.66);
	\draw (0,5.56)-- (0,-3.66);
	\draw (1,5.56)-- (1,-3.66);
	\draw (2,5.56)-- (2,-3.66);
	\draw (3,5.56)-- (3,-3.66);
	\draw (4,5.56)-- (4,-3.66);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-4,7) -- (-4,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-3,6) -- (-3,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-2,7) -- (-2,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-1,6) -- (-1,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (0,7) -- (0,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (1,6) -- (1,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (2,7) -- (2,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (3,6) -- (3,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (4,7) -- (4,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (6,5) -- (5,5);
	\draw [->,line width=1.6pt] (5,4) -- (6,4);
	\draw [->,line width=1.6pt] (6,3) -- (5,3);
	\draw [->,line width=1.6pt] (6,1) -- (5,1);
	\draw [->,line width=1.6pt] (6,-1) -- (5,-1);
	\draw [->,line width=1.6pt] (6,-3) -- (5,-3);
	\draw [->,line width=1.6pt] (5,-2) -- (6,-2);
	\draw [->,line width=1.6pt] (5,0) -- (6,0);
	\draw [->,line width=1.6pt] (5,2) -- (6,2);
	\draw (-3.92,4.8) node[anchor=north west] {A1};
	\draw (-2.94,4.8) node[anchor=north west] {A2};
	\draw (-1.92,4.8) node[anchor=north west] {A3};
	\draw (-3.92,3.8) node[anchor=north west] {B1};
	\draw (-2.92,3.8) node[anchor=north west] {B2};
	\draw (-0.84,4.66) node[anchor=north west] {...};
	\draw (-1.84,3.7) node[anchor=north west] {...};
	\end{tikzpicture}	
\end{center}
\subsection{Analyse a priori}
Aucune connaissance en algèbre ou géométrie n’est exigible dans cet exercice. \\
La difficulté principale de cet exercice est d’associer chaque question à la recherche du temps minimal de parcours et du temps maximal de parcours, selon les points de départ et d’arrivée du véhicule.


\subsection{Éléments de solution}
\begin{center}
	\definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
	\definecolor{qqzztt}{rgb}{0,0.6,0.2}
	\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
	\definecolor{ttzzqq}{rgb}{0.2,0.6,0}
	\definecolor{wwqqww}{rgb}{0.4,0,0.4}
	\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-4.88,-4) rectangle (9.38,7.28);
	\draw (-4,5)-- (4,5);
	\draw (-4.52,5)-- (7.48,5);
	\draw (-4.52,4)-- (7.48,4);
	\draw (-4.52,3)-- (7.48,3);
	\draw (-4.52,2)-- (7.48,2);
	\draw (-4.52,1)-- (7.48,1);
	\draw (-4.52,0)-- (7.48,0);
	\draw (-4.52,-1)-- (7.48,-1);
	\draw (-4.52,-2)-- (7.48,-2);
	\draw (-4.52,-3)-- (7.48,-3);
	\draw (-4,5.56)-- (-4,-3.66);
	\draw (-3,5.56)-- (-3,-3.66);
	\draw (-2,5.56)-- (-2,-3.66);
	\draw (-1,5.56)-- (-1,-3.66);
	\draw (0,5.56)-- (0,-3.66);
	\draw (1,5.56)-- (1,-3.66);
	\draw (2,5.56)-- (2,-3.66);
	\draw (3,5.56)-- (3,-3.66);
	\draw (4,5.56)-- (4,-3.66);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-4,7) -- (-4,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-3,6) -- (-3,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-2,7) -- (-2,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (-1,6) -- (-1,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (0,7) -- (0,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (1,6) -- (1,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (2,7) -- (2,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (3,6) -- (3,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (4,7) -- (4,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (9,5) -- (8,5);
	\draw [->,line width=1.6pt] (8,4) -- (9,4);
	\draw [->,line width=1.6pt] (9,3) -- (8,3);
	\draw [->,line width=1.6pt] (9,1) -- (8,1);
	\draw [->,line width=1.6pt] (9,-1) -- (8,-1);
	\draw [->,line width=1.6pt] (9,-3) -- (8,-3);
	\draw [->,line width=1.6pt] (8,-2) -- (9,-2);
	\draw [->,line width=1.6pt] (8,0) -- (9,0);
	\draw [->,line width=1.6pt] (8,2) -- (9,2);
	\draw (-3.92,4.8) node[anchor=north west] {A1};
	\draw (-2.94,4.8) node[anchor=north west] {A2};
	\draw (-1.92,4.8) node[anchor=north west] {A3};
	\draw (-3.92,3.8) node[anchor=north west] {B1};
	\draw (-2.92,3.8) node[anchor=north west] {B2};
	%\draw (-0.84,4.66) node[anchor=north west] {...};
	%\draw (-1.84,3.7) node[anchor=north west] {...};
	\draw (12.52,10)-- (0.52,10);
	\draw (5,5.56)-- (5,-3.66);
	\draw (6,5.56)-- (6,-3.66);
	\draw (7,5.56)-- (7,-3.66);
	\draw (5,-0.18) node[anchor=north west] {F10};
	\draw (-3.92,2.8) node[anchor=north west] {C1};
	\draw (-1.92,3.8) node[anchor=north west] {B3};
	\draw [line width=3.6pt] (-2,4)-- (-1,4);
	\draw [line width=3.6pt] (-1,4)-- (-1,3);
	\draw [line width=3.6pt] (-1,3)-- (-2,3);
	\draw [line width=3.6pt] (-2,3)-- (-2,4);
	\draw [line width=3.6pt] (5,0)-- (6,0);
	\draw [line width=3.6pt] (6,0)-- (6,-1);
	\draw [line width=3.6pt] (6,-1)-- (5,-1);
	\draw [line width=3.6pt] (5,-1)-- (5,0);
	\draw [line width=2pt,color=qqqqff] (-2,3)-- (-2,2);
	\draw [line width=2pt,color=qqqqff] (-2,2)-- (0,2);
	\draw [line width=2pt,color=wwqqww] (-1,3)-- (-1,0);
	\draw [line width=2pt,color=wwqqww] (-1,0)-- (0,0);
	\draw [line width=2pt,color=ttzzqq] (-1,4)-- (0,4);
	\draw [line width=2pt,color=ttzzqq] (0,4)-- (0,2);
	\draw [line width=2pt,color=ffqqqq] (0,2)-- (0,0);
	\draw [line width=2pt,color=ffqqqq] (0,0)-- (5,0);
	\draw [->,line width=1.6pt] (5,6) -- (5,7);
	\draw [->,line width=1.6pt] (6,7) -- (6,6);
	\draw [->,line width=1.6pt] (7,6) -- (7,7);
	\draw [color=qqqqff](-2.46,3.4) node[anchor=north west] {$a$};
	\draw [color=qqzztt](-0.95,3.54) node[anchor=north west] {$b$};
	\draw [color=qqzztt](-0.95,4.5) node[anchor=north west] {$c$};
	\draw (-2.46,4.54) node[anchor=north west] {$d$};
	\draw [color=ffqqqq](0.1,0.54) node[anchor=north west] {$x$};
	\draw [color=ffqqqq](4.5,0.54) node[anchor=north west] {$y$};
	\draw [color=zzqqzz](-1.5,0.54) node[anchor=north west] {$z$};
	\end{tikzpicture}	
\end{center}
\medskip
\definecolor{vert}{rgb}{0,0.6,0.2}
Pour un automobiliste, un trajet commençant en $d$ sera plus long car il passera par \textcolor{blue}{$a$} ou \textcolor{vert}{$c$}.\\

De même, un trajet finissant dans un autre angle que \textcolor{red}{$y$} sera plus long.\\

Le temps de parcours du trajet  \textcolor{blue}{$a$}-\textcolor{red}{$x$}-\textcolor{red}{$y$} sera de $10 \times 8 + 7 \times 15$, soit 185 secondes\\ ou 3 minutes 5 secondes.\\

Le temps de parcours du trajet \textcolor{vert}{$c$}-\textcolor{red}{$x$}-\textcolor{red}{$y$} sera de $10 \times 8 + 7 \times 15$, soit 185 secondes\\ ou 3 minutes 5 secondes
(il y a un arrêt au départ car il traverse un axe prioritaire).\\
Le temps de parcours du trajet \textcolor{vert}{$b$}-\textcolor{vert}{$c$}-\textcolor{red}{$x$}-\textcolor{red}{$y$} sera de $11 \times 8 + 6 \times 15$, soit 178 secondes\\ ou 2 minutes 58 secondes
(il n’y a pas d’arrêt au départ car il démarre sur un axe prioritaire).\\

\textbf{Karl pourra ainsi faire le déplacement avec sa voiture en moins de 3 minutes.}\\

Pour un cycliste, le trajet le plus court pour aller de \textcolor{vert}{$b$} en \textcolor{red}{$y$} compte 9 blocks. En roulant vers le sud jusqu’en \textcolor{violet}{$z$}, puis vers l’est jusqu’en \textcolor{red}{$y$}, il s’arrêtera 6 fois. \\
Son temps de parcours sera alors de $9 \times 15 + 6 \times 5$ = 165 secondes, soit 2 minutes et 45 secondes.\\


\textbf{Karl aurait pu faire le même parcours plus rapidement avec son vélo.}
\newpage


