\subsection{Partage}

Nathan doit rendre son devoir de mathématiques après-demain et il n’a toujours 
pas trouvé la solution de l’exercice suivant :\\

« ABC est un triangle dont le côté [AB] est partagé en quatre segments de même longueur. 
Donner un programme de construction permettant, sans effectuer de mesure, de partager le côté [AC] 
en cinq segments de même longueur et réaliser cette construction.»\\

Il décide alors de chercher des idées sur Internet et trouve sur un forum la construction suivante :\\

« ABC est un triangle dont le côté [AB] est partagé en deux segments de même longueur. \\
Pour partager le côté [AC] en trois segments de même longueur, il suffit de:

\begin{minipage}{8cm}
	\begin{itemize}
		\item Nommer M le milieu de [AB].\\
		
		\item 	Tracer [MC]  et construire son milieu N.\\
		
		\item 	Tracer [AN]  et construire son milieu P.\\
		
		\item 	Les droites (MP) et (BN) coupent [AC] respectivement en I et J.
	\end{itemize}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.6,-0.3) rectangle (9.8,7.56);
		\draw (5,7)-- (9,0);
		\draw (9,0)-- (0,2);
		\draw (0,2)-- (5,7);
		\draw (2.5,4.5)-- (9,0);
		\draw (0,2)-- (5.75,2.25);
		\draw [domain=2.5:9.80000000000001] plot(\x,{(--7.63-2.38*\x)/0.38});
		\draw [domain=5.0:9.80000000000001] plot(\x,{(--29-4.75*\x)/0.75});
		\begin{scriptsize}
		\fill [color=black] (0,2) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (-0.36,2.26) node {A};
		\fill [color=black] (5,7) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (4.9,7.3) node {B};
		\fill [color=black] (9,0) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (9.36,0) node {C};
		\fill [color=black] (2.5,4.5) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (2.4,4.9) node {M};
		\fill [color=black] (5.75,2.25) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (6,2.52) node {N};
		\fill [color=black] (2.88,2.13) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.12,2.38) node {P};
		\fill [color=black] (3,1.33) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.2,1.6) node {I};
		\fill [color=black] (6,0.67) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (6.22,0.92) node {J};
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
\end{minipage}
\par
\medskip
Les points I et J partagent alors le côté [AC] en trois segments de même longueur.»\\

Curieux et prudent, Nathan décide de vérifier que la construction proposée est valable 
et il réussit à démontrer le résultat annoncé.
Et comme il n’a  pas d’autres pistes, il décide d’adapter cette méthode à son problème.
Après quelques essais, il trouve une solution et rédige son programme de construction.\\

A vous maintenant !\\

\textbf{Démontrez le résultat annoncé sur Internet et proposez une réponse au devoir \\de Nathan.}



