\section{Top 14}
\subsection{Le sujet}
Xavier, professeur de mathématiques, est aussi entraîneur du club de rugby de son village.\\
Dans la soirée, le journaliste local qui n’a pas assisté au match lui téléphone pour connaître le
score de la rencontre.\\
Xavier, encore contrarié par la défaite de son équipe, lui fait la réponse suivante :\\
« Nous avons ouvert le score par une pénalité à 3 points, mais à la fin du match, nous étions menés et
la différence des carrés des points des deux équipes valait exactement 60 ».\\
Le lendemain matin, Xavier découvre le score exact dans le journal. Il rappelle alors le
journaliste en lui demandant d’excuser son manque de fair-play de la veille et en le félicitant
pour ses compétences mathématiques.\\

\textbf{Quel était le résultat de ce match ? Expliquez votre démarche.}

\subsection{Analyse a priori}
Cet exercice n’est pas très difficile.\\
Les élèves peuvent résoudre l'exercice en reconnaissant une identité remarquable.
Mais son utilisation n’est pas classique dans la mesure où il faudra l'utiliser pour résoudre une équation portant sur des nombres entiers. 
En factorisant, le problème se ramène  à la recherche des diviseurs de 60.\\
Un raisonnement par disjonction des cas permet alors de résoudre rapidement le problème.\\

Il est possible que des élèves ayant utilisé les diviseurs de 60 proposent la bonne réponse sans vérifier qu'elle est unique, 
mais seul un raisonnement par disjonction des cas permet de prouver l'unicité.\\

Les élèves peuvent aussi éviter le recours à l'algèbre et à l'arithmétique en dressant la liste des carrés des entiers pour 
repérer ceux qui donnent une différence égale à 60.\\
Les scores étant de 14 et 16, on peut imaginer qu’ils puissent les remarquer rapidement,
 mais justifier l’unicité du résultat oblige à tester toutes les autres différences.\\

Ils peuvent aussi dresser un tableau de valeurs de la fonction  $x \longrightarrow f(x)=\sqrt{60 + x^2}$ 
pour les entiers $x$ tels que  $x \geqslant 3$ , en se limitant à un score « raisonnable » et en extraire les entiers ayant une image entière.

\subsection{Éléments de solution}
Soit $a$ le score de l'équipe de Xavier et $b$ celui de l'équipe adverse.\\
$ 3\leqslant a < b$ et $b^2-a^2 = 60$.\\

$a$ et $b$ sont deux entiers tels que $(b + a)(b - a) = 60.$

Il suffit alors de lister les diviseurs de 60 et d'éliminer ceux qui sont en contradiction avec l'énoncé.\\


\begin{itemize}
	\item Soit en remarquant que  $(b + a) + (b - a) = 2b$ est un entier pair et $ a \geqslant 3$, comme 
	récapitulé dans le tableau ci-dessous.\\


\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{1,5cm}}
\begin{tabular}{|*{3}{H|}c|} \hline 
	$b + a$&$b-a$&$2b$& Résultats et commentaires \\ \hline
	60 &1  & 61 &impossible car $2b$ est impair\\\hline
	30 &2  &32  & $b = 16$ et $ a = 14$ \\\hline
	20 & 3 & 23 & impossible\\ \hline
	15 &4  & 19 & impossible\\ \hline
	12 &5  &17  & impossible\\ \hline
	10 &6  &16  & $b=8$ et a = 2 \quad impossible car le score est au moins égal à 3. \\ \hline
	
\end{tabular}
\bigskip
\item Soit en résolvant les systèmes $\left \{
\begin{array}{r @{\,=\,} r}
   a + b\quad & s \\
    a - b\quad & d \\
\end{array}
\right.  
$\\

avec $(s,d) \in \left\{ (60~,~1)~;~(3~,~2)~;~(20~,~3)~;~(15~,~4)~;~(12~,~51)~;~(10~,~6)\right \}$


\end{itemize}


\bigskip

\textbf{Le score est de 14 points pour l’équipe locale contre 16 points pour l’équipe adverse.}