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%D\'{e}finition de la mise en page
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATH\'{E}MATIQUE DE FRANCHE-COMT\'{E}}

\smallskip
\textbf{Finale du lundi 31 mars 2008}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

\medskip
Les classes de Troisi\`{e}me doivent r\'{e}soudre les exercices 1 \`{a} 6.

Les classes de Seconde doivent r\'{e}soudre les exercices 4 \`{a} 9.

La classe doit rendre une seule r\'{e}ponse par exercice trait\'{e} \textbf{en expliquant la d\'{e}marche}.


\medskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

%\hspace{-2cm}
\subsection{L'auberge espagnole}
\medskip
\onehalfspace Andy, Betty, Connie et Danny avaient loué le même appartement à Barcelone durant l'année $2006$.\\
Soucieux d'être bien informés, ces quatre jeunes gens avaient décidé d'acheter chaque semaine un hebdomadaire français paraissant le mercredi.\\
Toutefois, il fallait se lever tôt pour acquérir l'unique exemplaire disponible au kiosque situé au pied de l'immeuble.\\
Ils avaient décidé qu'Andy achèterait l'hebdo les deux premiers mercredi, Betty les deux mercredi suivants, puis Connie les deux suivants et enfin Danny les deux suivants. Ce cycle avait été répété ainsi jusqu'à la fin de l'année.\\

\textbf{Combien de fois durant l'année $2006$ chaque colocataire a-t-il acheté cet hebdomadaire ?}\\
\textbf{Vous ferez apparaître votre démarche.} 
%\textit{On précise que le premier janvier $2005$ est un samedi.}



%\vskip1 cm
\subsection{Carré cube}
\medskiple{Trouvez un entier tel que son carré et son cube utilisent ensemble et une seule fois chacun des $10$ chiffres de notre numération. Combien y a-t-il de tels entiers ?\\Expliquez votre démarche.}


\subsection{Cherchez les points}
\medskip
Deux droites parallèles sont distantes de $6$ cm.\\

\textbf{Où se trouvent tous les points situés à $2$ cm de l'une et à $4$ cm de l'autre ?\\
Construisez l'ensemble obtenu en utilisant seulement le compas, la règle et l'équerre non graduées.\\ Expliquez votre construction.}




\newpage

\subsection{Cercles prisonniers}
\medskip
On donne trois cercles de même rayon dont les centres ne sont pas alignés.\\

\textbf{Construisez à la règle et au compas un triangle dont chaque côté est tangent à deux de ces trois cercles et les contenant. Expliquez votre construction.}

\vskip1 cm
\subsection{Patron}
Dans un cube de 4 cm d'arête, on découpe une pyramide de la façon suivante :\\
\parbox{8 cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1.8]{patron1.jpg}
\end{center}
}
\parbox{8 cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1.8]{patron2.jpg}
\end{center}
}
\begin{center}
\small{M et N sont les milieux respectifs des arêtes [BC] et [BD].\\}
\end{center}

\textbf{Tracez le patron du solide restant.}


\vskip1 cm
\subsection{Gamme}
\singlespace Mélodie a trouvé l'illustration d'une gamme fabriquée avec des récipients à base un carré de $4$ cm de côté, remplis plus ou moins d'eau.\\
La musique s'obtient en faisant tinter les récipients avec une mailloche.\\
Tous ces récipients sont réalisés avec la même matière.\\
A une note correspond un unique volume d'eau.\\
\includegraphics[viewport= 40 360 1000 670,clip,scale=0.6]{fig_gamme.png}

Elle voudrait fabriquer sa propre gamme. Elle possède dans son placard sept récipients de même matière dont:
\begin{itemize}
	\item six pavés dont la base est un carré de $3$ cm de côté et de hauteur $18$ cm,
	\item un cylindre dont la base est un disque de diamètre $4$ cm et de hauteur $18$ cm.
\end{itemize}

\textbf{Aidez Mélodie à fabriquer sa propre gamme en donnant la hauteur d'eau nécessaire dans chaque récipient au mm près. Vous ferez apparaître votre démarche.}


\newpage
\subsection{Bijoux}
\medskip \onehalfspace
\parbox{12 cm}{Maëlie est créatrice de bijoux fantaisie.\\ 
Pour sa collection d'été, elle a imaginé le modèle ci-contre qu'elle a 
réalisé de la façon suivante :\\
Sur un disque en acier de $5$ cm de diamètre, elle a collé quatre petites
plaques émaillées identiques qui sont tangentes entre elles mais aussi 
tangentes au disque support.}
\parbox{6 cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{bijou.jpg}
\end{center}}

\medskip\textbf{Combien mesure le rayon des plaques émaillées que Maëlie a utilisées ? Vous ferez apparaître votre démarche.}



\vskip1 cm
\subsection{Trapèze}
\medskip
\textbf{Tracer un trapèze (ABCD), les conditions étant réalisées :}\\
(AD) perpendiculaire à (DC), (AB) parallèle à (DC), AB = $4$, AD = $2$, DC = $6$ 
L'unité de longueur est le centimètre.\\

\medskip\textbf{Construire :}\\
Un point M du segment d'extrémités A et D, un point N du segment d'extrémités B et C
tels que l'aire du trapèze (ABNM) soit égale à l'aire du trapèze (DCNM). 


\vskip1 cm
\subsection{La toute puissance de trois}
\medskip
Hélène s'intéresse aux mathématiques et tout particulièrement aux puissances de $3$.\\ Avec son ami Pâris, elle tente d'écrire les nombres entiers non nuls sous la forme de somme de puissances de $3$.\\ Tous deux décident de recenser les nombres inférieurs à $80$ qui peuvent s'écrire comme somme \textbf{d'au maximum} six puissances de $3$ qu'ils appellent \og \textit{les nombres troyens} \fg.\\
Comme $\ds 50 = 3^{3} + 3^{2} + 3^{2} + 3^{1} + 3^{0} + 3^{0}$ et $\ds 61= 3^{3} + 3^{3} + 3^{1} + 3^{1} + 3^{0}$, $50$ et $61$ sont des nombres troyens.


\textbf{Trouvez tous les nombres compris entre $50$ et $80$ qui ne sont pas des nombres troyens. Vous ferez apparaître votre démarche.}
\singlespace


\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no }
\end{center}



\end{document}
