\section{Les carrés}
\subsection{Le sujet}
\begin{minipage}{9cm}
Le jeu de Charly contient des carrés gris et des carrés noirs.\\
	
On peut poser un carré noir sur un carré gris de manière à ce que les côtés du carré noir 
partagent les côtés du carré gris en trois segments de même longueur.\\

\textbf{Un des carrés est-il plus grand que l’autre ?\\ Si oui, quel est le rapport entre les deux aires de ces carrés ?\\
Expliquez votre démarche.}
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\definecolor{zzzzzz}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-1.26,-1.2) rectangle (7.2,7.2);
	\fill[color=zzzzzz,fill=zzzzzz,fill opacity=1.0] (0,0) -- (6,0) -- (6,6) -- (0,6) -- cycle;
	\fill[fill=black,fill opacity=1.0] (-1,3) -- (3,7) -- (7,3) -- (3,-1) -- cycle;
	\draw (3,7)-- (-1,3);
	\draw (-1,3)-- (3,-1);
	\draw (3,-1)-- (7,3);
	\draw (3,7)-- (7,3);
	\draw (-1,3)-- (3,7);
	\draw (3,7)-- (7,3);
	\draw (7,3)-- (3,-1);
	\draw (3,-1)-- (-1,3);
	\draw (0,4)-- (0,6);
	\draw (0,6)-- (2,6);
	\draw (4,6)-- (6,6);
	\draw (6,6)-- (6,4);
	\draw (6,2)-- (6,0);
	\draw (6,0)-- (4,0);
	\draw (2,0)-- (0,0);
	\draw (0,0)-- (0,2);
	\end{tikzpicture}
\end{center}	
\end{minipage}
\subsection{Analyse a priori}
Énoncé simple de compréhension qui permet la mise en oeuvre de différentes stratégies.\\
Une première idée est de mesurer ou de refaire un dessin.\\

La première solution proposée utilise un pavage, la seconde les aires des carrés et des trapèzes, quant à la troisième elle utilise
le rapport $\sqrt{2}$  entre la diagonale du carré et son côté et les aires.

\subsection{Éléments de solution}
\subsubsection{Première solution}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
		\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0}
		\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
		\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
		%\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.75,0.75,0.75}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]

		\clip(-1.4,-3.52) rectangle (9.7,7.62);
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.5] (0,4) -- (2,6) -- (4,6) -- (5,5) -- (1,1) -- (0,2) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.25] (2,6) -- (3,7) -- (4,6) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.25] (0,4) -- (-1,3) -- (0,2) -- cycle;
		\draw [line width=1.6pt,color=ffqqqq] (0,0)-- (6,0);
		\draw [line width=1.6pt,color=ffqqqq] (6,0)-- (6,6);
		\draw [line width=1.6pt,color=ffqqqq] (6,6)-- (0,6);
		\draw [line width=1.6pt,color=ffqqqq] (0,6)-- (0,0);
		\draw (6,6)-- (0,0);
		\draw (3,7)-- (-1,3);
		\draw (-1,3)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (7,3);
		\draw (3,7)-- (7,3);
		\draw (-1,3)-- (3,7);
		\draw (3,7)-- (7,3);
		\draw (7,3)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (-1,3);
		\draw (6,6)-- (6,4);
		\draw (2,0)-- (2,2);
		\draw (2,2)-- (0,2);
		\draw (4,6)-- (4,4);
		\draw (4,4)-- (6,4);
		\draw (6,4)-- (6,6);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,4)-- (4,4);
		\draw (0,6)-- (4,2);
		\draw (0,4)-- (2,2);
		\draw (2,6)-- (4,4);
		\draw (4,6)-- (0,2);
		\draw [line width=1.6pt,color=qqzzqq] (-1,3)-- (3,7);
		\draw [line width=1.6pt,color=qqzzqq] (3,7)-- (7,3);
		\draw [line width=1.6pt,color=qqzzqq] (7,3)-- (3,-1);
		\draw [line width=1.6pt,color=qqzzqq] (3,-1)-- (-1,3);
		\draw [color=ffwwww] (0,4)-- (2,6);
		\draw [color=ffwwww] (2,6)-- (4,6);
		\draw [color=ffwwww] (4,6)-- (5,5);
		\draw [color=ffwwww] (5,5)-- (1,1);
		\draw [color=ffwwww] (1,1)-- (0,2);
		\draw [color=ffwwww] (0,2)-- (0,4);
		\draw [color=zzttqq] (2,6)-- (3,7);
		\draw [color=zzttqq] (3,7)-- (4,6);
		\draw [color=zzttqq] (4,6)-- (2,6);
		\draw [color=zzttqq] (0,4)-- (-1,3);
		\draw [color=zzttqq] (-1,3)-- (0,2);
		\draw [color=zzttqq] (0,2)-- (0,4);
		\draw [->,line width = 1.5pt, dashed](2.5,6.52).. controls +(135:1cm) and + (90:1cm) .. (1.16,6.0);
		\draw [->,line width = 1.5pt, dashed](-0.34,3.68).. controls +(135:1cm) and + (180:1cm) .. (0,5.0);
		\begin{scriptsize}
		\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.24,-0.04) node {A};
		\fill [color=black] (6,6) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (6.16,6.18) node {C};
		\fill [color=black] (0,6) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.24,6.24) node {D};
		\fill [color=black] (0,2) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.26,2) node {U};
		\fill [color=black] (4,6) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.2,6.32) node {N};
		\fill [color=black] (2,6) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (1.7,6.32) node {M};
		\fill [color=black] (0,4) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.22,4.16) node {V};
		\fill [color=black] (-1,3) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-1.24,3.08) node {W};
		\fill [color=black] (3,7) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (2.98,7.3) node {T};
		\fill [color=black] (2,2) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (2.26,1.78) node {A'};
		\fill [color=black] (4,4) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.28,3.86) node {C'};
		\fill [color=black] (1,1) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (1,0.76) node {I};
		\fill [color=black] (5,5) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (5.36,5.12) node {J};
		\fill [color=qqzzqq] (2.53,6.53) circle (0.5pt);
		\fill [color=black] (0.99,4.99) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (0.96,5.36) node {S};
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}
\end{center}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
	\begin{enumerate}
		\item Le tracé :\\
		On trace un carré rouge. \\
		Le côté du carré rouge est partagé en 3 segments de même longueur.\\
		Il est possible de tracer le carré vert.
		\item Constitution du pavage\\
		Compte tenu des propriétés géométriques de la configuration, \\
		
		aire (MTN) = aire (DMS) = $\alpha$\\
		
		On en déduit que l'aire du carré vert est égale à deux fois l'aire de (DNJIU).
	\end{enumerate}	
\end{minipage}

Le domaine orange est inclus dans le domaine ADC.\\

On peut en déduire que le carré rouge est plus grand que le carré vert.\\

En comptant, on obtient : \qquad Aire (DCA) =  18 $\alpha$ \quad et\quad aire (orange) = 16 $\alpha$\\

\textbf{Le rapport des aires est $\dfrac{16}{18}$ soit $\dfrac{8}{9}.$}

\subsubsection{Deuxième solution}

\begin{minipage}{9cm}
	\begin{center}
		\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
		\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
		\definecolor{wwwwww}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-2.28,-2.54) rectangle (9.04,8.44);
		\fill[color=wwwwww,fill=wwwwww,fill opacity=0.4] (0,6) -- (6,6) -- (6,0) -- (0,0) -- cycle;
		\fill[color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.5] (0,4) -- (2,6) -- (4,6) -- (6,4) -- cycle;
		\fill[color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.5] (0,2) -- (6,2) -- (4,0) -- (2,0) -- cycle;
		\fill[fill=black,fill opacity=1.0] (0,4) -- (-1,3) -- (0,2) -- cycle;
		\fill[fill=black,fill opacity=1.0] (2,0) -- (4,0) -- (3,-1) -- cycle;
		\fill[fill=black,fill opacity=1.0] (6,4) -- (6,2) -- (7,3) -- cycle;
		\fill[fill=black,fill opacity=1.0] (2,6) -- (4,6) -- (3,7) -- cycle;
		\fill[color=qqzzqq,fill=qqzzqq,fill opacity=0.5] (0,4) -- (0,2) -- (6,2) -- (6,4) -- cycle;
		\draw [line width=1.6pt] (0,0)-- (6,0);
		\draw [line width=1.6pt] (6,0)-- (6,6);
		\draw [line width=1.6pt] (6,6)-- (0,6);
		\draw [line width=1.6pt] (0,6)-- (0,0);
		\draw (3,7)-- (-1,3);
		\draw (-1,3)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (7,3);
		\draw (3,7)-- (7,3);
		\draw (-1,3)-- (3,7);
		\draw (3,7)-- (7,3);
		\draw (7,3)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (-1,3);
		\draw (0,4)-- (0,6);
		\draw (0,6)-- (2,6);
		\draw (4,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,4);
		\draw (6,2)-- (6,0);
		\draw (6,0)-- (4,0);
		\draw (2,0)-- (0,0);
		\draw (0,0)-- (0,2);
		\draw (0,0)-- (2,0);
		\draw (0,2)-- (0,0);
		\draw (6,6)-- (4,6);
		\draw (6,4)-- (6,6);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw [<->] (0,7.46) -- (6,7.46);
		\draw [<->] (-1.36,2.64) -- (-0.36,1.64);
		\draw [<->] (-2.25,1.75) -- (1.75,-2.25);
		\draw (0.3,3.56) node[anchor=north west] {$\dfrac{g}{3}$};
		\draw (2.64,8.18) node[anchor=north west] {$g$};
		\draw (-0.84,-0.1) node[anchor=north west] {$n$};
		\draw (-1.26,2.1) node[anchor=north west] {$c$};
		\draw [color=wwwwww] (0,6)-- (6,6);
		\draw [color=wwwwww] (6,6)-- (6,0);
		\draw [color=wwwwww] (6,0)-- (0,0);
		\draw [color=wwwwww] (0,0)-- (0,6);
		\draw [color=qqqqff] (0,4)-- (2,6);
		\draw [color=qqqqff] (2,6)-- (4,6);
		\draw [color=qqqqff] (4,6)-- (6,4);
		\draw [color=qqqqff] (6,4)-- (0,4);
		\draw [color=qqqqff] (0,2)-- (6,2);
		\draw [color=qqqqff] (6,2)-- (4,0);
		\draw [color=qqqqff] (4,0)-- (2,0);
		\draw [color=qqqqff] (2,0)-- (0,2);
		\draw (0,4)-- (-1,3);
		\draw (-1,3)-- (0,2);
		\draw (0,2)-- (0,4);
		\draw (2,0)-- (4,0);
		\draw (4,0)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (2,0);
		\draw (6,4)-- (6,2);
		\draw (6,2)-- (7,3);
		\draw (7,3)-- (6,4);
		\draw (2,6)-- (4,6);
		\draw (4,6)-- (3,7);
		\draw (3,7)-- (2,6);
		\draw [color=qqzzqq] (0,4)-- (0,2);
		\draw [color=qqzzqq] (0,2)-- (6,2);
		\draw [color=qqzzqq] (6,2)-- (6,4);
		\draw [color=qqzzqq] (6,4)-- (0,4);
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
Soit $g$ la longueur du côté du carré gris, $n$ celle du carré noir et $c$ celle du côté d'un triangle rectangle isocèle.\\

Les 4 triangles noirs ont une aire totale égale à : $4 \times \dfrac{c^2}{2}=2c^2 = \dfrac{g^2}{9}$\\

L'aire du carré noir est égale à $n^2$\\

$n^2=4 \times \dfrac{c^2}{2} + \dfrac{g}{3}\times g + 2\times \dfrac{\frac{g}{3}+g}{2}\times \dfrac{g}{3}$\\

$n^2 = 2c^2 + \dfrac{7g^2}{9}$\\

$n^2 = \dfrac{8}{9}g^2 $\\

\textbf{Le rapport des aires est $\dfrac{8}{9}.$}
\end{minipage}
\subsubsection{Troisième solution}

La comparaison des aires peut passer par la comparaison des arêtes.\\
Nous allons travailler dans un plan où les deux faces carrées des cubes sont représentées ci-dessous.\\

\begin{minipage}{9cm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-1.22,-1.24) rectangle (7.4,7.22);
		\draw [line width=1.6pt] (0,0)-- (6,0);
		\draw [line width=1.6pt] (6,0)-- (6,6);
		\draw [line width=1.6pt] (6,6)-- (0,6);
		\draw [line width=1.6pt] (0,6)-- (0,0);
		\draw (6,6)-- (0,0);
		\draw (3,7)-- (-1,3);
		\draw (-1,3)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (7,3);
		\draw (3,7)-- (7,3);
		\draw (-1,3)-- (3,7);
		\draw (3,7)-- (7,3);
		\draw (7,3)-- (3,-1);
		\draw (3,-1)-- (-1,3);
		\draw (0,4)-- (0,6);
		\draw (0,6)-- (2,6);
		\draw (4,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,4);
		\draw (6,2)-- (6,0);
		\draw (6,0)-- (4,0);
		\draw (2,0)-- (0,0);
		\draw (0,0)-- (0,2);
		\draw (0,0)-- (2,0);
		\draw (2,0)-- (2,2);
		\draw (2,2)-- (0,2);
		\draw (0,2)-- (0,0);
		\draw (6,6)-- (4,6);
		\draw (4,6)-- (4,4);
		\draw (4,4)-- (6,4);
		\draw (6,4)-- (6,6);
		\begin{scriptsize}
		\fill  (0,0) circle (0.5pt);
		\draw (-0.24,-0.04) node {A};
		\fill  (6,6) circle (0.5pt);
		\draw (6.16,6.18) node {C};
		\fill  (2,2) circle (0.5pt);
		\draw (2.02,2.26) node {A'};
		\fill  (4,4) circle (0.5pt);
		\draw (3.68,4.1) node {C'};
		\fill  (1,1) circle (0.5pt);
		\draw (0.98,1.38) node {I};
		\fill  (5,5) circle (0.5pt);
		\draw (4.98,4.58) node {J};
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
	Notons $x$ et $y$ les longueurs respectives des arêtes des carrés
	gris et noir.	\\
	
	Nous avons AC $=x\sqrt{2}$ et IJ $=y$.\\
	$[$AA'$]$ est la diagonale d'un carré de centre I et de longueur $\frac{x}{3}$.\\
	
	On a alors IA $= \frac{1}{2}$AA'$=\frac{1}{6}x\sqrt{2}$.\\
	
	Par symétrie, JC $= \frac{1}{6}x\sqrt{2}$\\
	
	Finalement, AC = AI + IJ + JC \\
	d'où $x\sqrt{2}$=$\frac{1}{6}x\sqrt{2}+y+\frac{1}{6}x\sqrt{2}$\\
	
	et $y = \frac{2}{3}x\sqrt{2}$.\\
	

\end{minipage}


\medskip
Comme $\frac{2}{3}\sqrt{2} \approx 0,943$, nous concluons que \textbf{le carré noir est plus petit que le carré gris}.\\

\textbf{Le rapport des aires est $(\frac{2}{3}\sqrt{2})^2$, soit $\frac{8}{9}$.\\ }








