\section{Cube incomplet}
\subsection{Le sujet}
\begin{minipage}{8cm}
	Elsa possède dans son jeu des petits cubes de même dimension.
	Avec ses petits cubes, elle commence à construire un grand cube.
	Son frère prend une photo du cube en cours de réalisation (photo ci-contre).\\
	
	\textbf{Combien de cubes manque-t-il pour reconstituer le «grand» cube ?}

\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
	\begin{center}
	\includegraphics{Cubeincomplet}	
	\end{center}
	
\end{minipage}
\subsection{Analyse a priori}
Ce problème classique nécessite d’avoir une bonne vision dans l’espace. Le cube complété comptera $6 \times 6 \times 6 = 36$ petits cubes.\\
Les élèves devront ensuite s’organiser pour réaliser un comptage soit par «couches» horizontales soit par «tranches» verticales.

\subsection{Éléments de solution}
\subsubsection{Méthode par «couches»}
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{center}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.46,-0.56) rectangle (6.58,6.32);
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (0,6) -- (6,6) -- (6,0) -- (0,0) -- cycle;
		\draw (0,6)-- (0,0);
		\draw (0,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,0);
		\draw (0,0)-- (6,0);
		\draw (1,6)-- (1,0);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (3,6)-- (3,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (5,6)-- (5,0);
		\draw (0,5)-- (6,5);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,3)-- (6,3);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,1)-- (6,1);
		\draw [color=ffwwww] (0,6)-- (6,6);
		\draw [color=ffwwww] (6,6)-- (6,0);
		\draw [color=ffwwww] (6,0)-- (0,0);
		\draw [color=ffwwww] (0,0)-- (0,6);
		\end{tikzpicture}
		
		\medskip
La première couche\\ est complète.\\				
	\end{center}
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{center}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.46,-0.56) rectangle (6.58,6.32);
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (0,6) -- (0,0) -- (1,0) -- (1,6) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,6) -- (6,6) -- (6,5) -- (1,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (5,5) -- (5,0) -- (6,0) -- (6,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,0) -- (5,0) -- (5,1) -- (1,1) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (5,3) -- (4,3) -- (4,2) -- (5,2) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (4,5) -- (4,4) -- (5,4) -- (5,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (2,5) -- (2,1) -- (1,1) -- (1,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (2,2) -- (3,2) -- (3,1) -- (2,1) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (2,4) -- (3,4) -- (3,3) -- (2,3) -- cycle;
		\draw (0,6)-- (0,0);
		\draw (0,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,0);
		\draw (0,0)-- (6,0);
		\draw (1,6)-- (1,0);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (3,6)-- (3,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (5,6)-- (5,0);
		\draw (0,5)-- (6,5);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,3)-- (6,3);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,1)-- (6,1);

		\end{tikzpicture}
		\medskip
		Sur la 2\ieme{} couche, \\il manque \textbf{8} cubes.\\		
	\end{center}
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{center}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.46,-0.56) rectangle (6.58,6.32);
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (0,6) -- (0,0) -- (1,0) -- (1,6) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,6) -- (6,6) -- (6,5) -- (1,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (5,5) -- (5,0) -- (6,0) -- (6,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,0) -- (5,0) -- (5,1) -- (1,1) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (5,3) -- (4,3) -- (4,2) -- (5,2) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (4,5) -- (4,4) -- (5,4) -- (5,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (2,2) -- (3,2) -- (3,1) -- (2,1) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (2,5) -- (2,3) -- (1,3) -- (1,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,2) -- (2,2) -- (2,1) -- (1,1) -- cycle;
		\draw (0,6)-- (0,0);
		\draw (0,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,0);
		\draw (0,0)-- (6,0);
		\draw (1,6)-- (1,0);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (3,6)-- (3,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (5,6)-- (5,0);
		\draw (0,5)-- (6,5);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,3)-- (6,3);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,1)-- (6,1);
	

		\end{tikzpicture}
		\medskip
		Sur la 3\ieme{} couche, \\il manque \textbf{10} cubes.\\	
	\end{center}
	
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}{6cm}
	\begin{center}
		\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.46,-0.56) rectangle (6.58,6.32);
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,6) -- (6,6) -- (6,5) -- (1,5) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (0,6) -- (1,6) -- (1,3) -- (0,3) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (0,2) -- (2,2) -- (2,0) -- (0,0) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (3,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (3,1) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (5,5) -- (5,4) -- (6,4) -- (6,5) -- cycle;
		\draw (0,6)-- (0,0);
		\draw (0,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,0);
		\draw (0,0)-- (6,0);
		\draw (1,6)-- (1,0);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (3,6)-- (3,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (5,6)-- (5,0);
		\draw (0,5)-- (6,5);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,3)-- (6,3);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,1)-- (6,1);
		\draw [color=zzttqq] (0,3)-- (0,6);
		\draw [color=zzttqq] (0,2)-- (2,2);
		\draw [color=zzttqq] (2,1)-- (3,1);
		\draw [color=zzttqq] (3,1)-- (3,0);

		\end{tikzpicture}	
		\medskip
		Sur la 4\ieme{} couche, \\il manque \textbf{22} cubes.\\	
	\end{center}
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{center}
		\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.46,-0.56) rectangle (6.58,6.32);
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (3,6) -- (3,5) -- (6,5) -- (6,6) -- cycle;
		\fill[color=ffwwww,fill=ffwwww,fill opacity=0.65] (1,1) -- (2,1) -- (2,0) -- (1,0) -- cycle;
		\draw (0,6)-- (0,0);
		\draw (0,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,0);
		\draw (0,0)-- (6,0);
		\draw (1,6)-- (1,0);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (3,6)-- (3,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (5,6)-- (5,0);
		\draw (0,5)-- (6,5);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,3)-- (6,3);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,1)-- (6,1);
		\draw [color=zzttqq] (3,5)-- (6,5);

		\end{tikzpicture}		
		\medskip	
	Sur la 5\ieme{} couche,\\ il manque \textbf{32} cubes.\\	
	\end{center}
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{center}
		\definecolor{ffwwww}{rgb}{1,0.4,0.4}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.46,-0.56) rectangle (6.58,6.32);
		\draw (0,6)-- (0,0);
		\draw (0,6)-- (6,6);
		\draw (6,6)-- (6,0);
		\draw (0,0)-- (6,0);
		\draw (1,6)-- (1,0);
		\draw (2,6)-- (2,0);
		\draw (3,6)-- (3,0);
		\draw (4,6)-- (4,0);
		\draw (5,6)-- (5,0);
		\draw (0,5)-- (6,5);
		\draw (0,4)-- (6,4);
		\draw (0,3)-- (6,3);
		\draw (0,2)-- (6,2);
		\draw (0,1)-- (6,1);

		\end{tikzpicture}	
		\medskip
		Sur la 6\ieme{} couche, \\il manque \textbf{36} cubes.\\	
	\end{center}
	
\end{minipage}\\

\vspace{0,5cm}

$8+10+22+32+36 = 108$ \qquad\textbf{Il manque donc 108 cubes pour reconstituer le grand cube.}

\subsubsection{Méthode par «tranches»}
Sur la 1\iere{} tranche, il manque \textbf{13} cubes.\\
Sur la 2\ieme{} tranche, il manque \textbf{15} cubes.\\
Sur la 3\ieme{} tranche, il manque \textbf{21} cubes.\\
Sur la 4\ieme{} tranche, il manque \textbf{24} cubes.\\
Sur la 5\ieme{} tranche, il manque \textbf{20} cubes.\\
Sur la 6\ieme{} tranche, il manque \textbf{15} cubes.\\

$13+15+21+24+20+15 = 108$\\

\textbf{Il manque donc 108 cubes pour reconstituer le grand cube.} 

