\section{Le bouchon}
\subsection{Le sujet}
A l’approche du tunnel du Gothard, les voitures sont à l’arrêt dans un bouchon. Marina remarque que son voisin de palier, 
Pedro, se trouve dans la file de gauche juste à son niveau.  Il leur reste exactement 12 km à faire avant l’entrée du tunnel.\\
Ils se saluent rapidement et les deux files redémarrent.\\
Marina roule sur la file de droite à 40 km/h pendant  6 minutes puis s’arrête 3 minutes et continue en roulant à 40km/h pendant 6 minutes 
puis s’arrête 3 minutes et ainsi de suite jusqu’à l’entrée du tunnel. \\
 Pedro roule sur la file de gauche à 60 km/h pendant 3 minutes puis s’arrête 5 minutes et continue en roulant à 60 km/h pendant 3 minutes 
puis s’arrête 5 minutes et ainsi de suite jusqu’à l’entrée du tunnel. \\
Prenant leur mal en patience, ils ne cherchent pas à changer de file. \\

\textbf{Combien de fois vont-ils se trouver au même niveau dans ce bouchon et lequel arrivera le premier 
à l’entrée du tunnel ? Expliquez votre démarche. }


\subsection{Analyse a priori}
Ce problème classique met en œuvre deux solides en mouvement sur une trajectoire assimilée à une droite.
Les solides se déplacent à vitesse constante avant de s’arrêter pendant une durée fixée.
N’ayant pas la même vitesse lorsqu’ils sont en déplacement et ne s’arrêtant pas aussi longtemps chacun,
nous nous demandons si ces solides peuvent se rencontrer de nouveau.
Si la notion de vitesse fait appel à la notion de proportionnalité, les élèves se heurtent vite à la difficulté 
de gérer les arrêts.  \\
Il n’est pas juste question de déterminer une position en fonction du temps ou un moment $t$ 
en fonction d’une position pour un véhicule donné, il faut comparer ces données pour deux véhicules 
afin d’en connaitre des positions communes. Les élèves seront donc amenés à explorer différentes 
représentations du problème : tableau de valeurs ou représentations graphiques. 
Comme l’indique l’expression « en fonction de » répétée ci-dessus, l’exercice met en œuvre 
la notion de fonction et en particulier de fonction affine par morceaux. 
On insistera sur la définition d’une fonction en mathématiques et sur le caractère unique 
de l’image d’un nombre pris dans l’ensemble de définition.\\

La question peut donc s’adresser à un élève de troisième ou de seconde. 

\subsection{Éléments de solution}
On appelle V1 le véhicule de Marina et V2 le véhicule de Pedro.\\
Il peut y avoir deux manières de positionner un solide :
\begin{itemize}
	\item à quel moment $t$ en minutes, le solide se trouve-t-il à une distance donnée $x$ du point de départ ? ( $t$ en fonction de $x$)
	\item à quelle distance $d$  se trouve le solide à un certain moment donné $t$ ? ( $d$ en fonction de $t$ )
\end{itemize}
\medskip

Les élèves pourraient être amenés à dresser un schéma de type tableau de valeurs (*): \\

\fbox{V1}
\begin{center}
\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{3cm}}
\begin{tabular}{|H|c|c|c|c|c|} \hline
 Distance parcourue
depuis le départ     &\multicolumn{2}{c|}{4 km}  & \multicolumn{2}{c|}{8 km} &12 km  \\ \hline
 Combien de minutes se sont   & 6 min     &  3 min     &15 min
    &  3 min    & 24 min  \\
  écoulées à cet endroit &\footnotesize{(mouvement)}&\footnotesize{(arrêt)}&\footnotesize{(9min + 6min)} & \footnotesize{(arrêt)}&\footnotesize{(18min + 6min)}  \\ \cline{2-6}

du parcours & \multicolumn{2}{c|}{9 min } &\multicolumn{2}{c|}{18 min} & 24 min  \\ \hline    
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
En effet, le véhicule V1 roule à 40 km/h pendant 6 minutes et s’arrête 3 minutes,
 donc il parcourt 4 km en 6 minutes puis 0 km pendant 3 minutes. 
Ainsi il parcourt 4 km en 9 minutes  et comme il a 12 km à parcourir pour atteindre le tunnel, 
il lui faudra 2$\times$9 minutes pour parcourir les 8 premiers km et 6 minutes supplémentaires
 pour parcourir les 4 km restants soit 24 minutes en tout.

De même, pour le véhicule 2 on peut dresser un tableau semblable :\\
\newpage
\fbox{V2}
\begin{center}
\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{3cm}}
\begin{tabular}{|H|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
 Distance parcourue
depuis le départ     &\multicolumn{2}{c|}{3km}  & \multicolumn{2}{c|}{6 km}&\multicolumn{2}{c|}{9 km} &12 km  \\ \hline
 Combien de minutes se sont   & 3 min     &  5 min     &11 min
    &  5 min    & 19 min & 5 min& 27 min\\
  écoulées à cet endroit &\footnotesize{(mouvt)}&\footnotesize{(arrêt)}&\footnotesize{(mouvt)} & 
\footnotesize{(arrêt)}&\footnotesize{(mouvt)}& \footnotesize{(arrêt)}&\footnotesize{(mouvt)} \\ \cline{2-8}

du parcours & \multicolumn{2}{c|}{8 min } &\multicolumn{2}{c|}{16 min}&\multicolumn{2}{c|}{24 min} & 27 min  \\ \hline    
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

On observe donc que le véhicule 1 arrive avant le véhicule 2 à l’entrée du tunnel.
On répond ainsi à une partie de la question !\\

Il n’est pas du tout aisé de déterminer les moments où les positions sont identiques car les tableaux 
ci-dessus ne le permettent pas. Croiser les informations de ces deux tableaux peut constituer un obstacle.\\
Les élèves pourraient alors mettre « en parallèle » les trajets des deux véhicules ainsi que le temps :
\definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.86,3.29) rectangle (29.37,18.98);
\draw [line width=1pt] (0,16)-- (24,16);
\draw [line width=1pt] (0,13)-- (24,13);
\draw [line width=1pt] (0,8)-- (27,8);
\draw [line width=1pt] (0,5)-- (24,5);
\begin{scriptsize}
\draw (23.41,17.6) node[anchor=north west] {12 km};
\draw [color=qqzzqq](4.91,18.45) node[anchor=north west] {Voiture 1 };
\draw [color=zzqqzz](4.86,10.11) node[anchor=north west] {Voiture 2};
\draw (23.7,4.44) node[anchor=north west] {12 km};
\draw (23.22,12.59) node[anchor=north west] {24 min};
\draw (26.8,7.68) node[anchor=north west] {27 min};
\draw [line width=3.6pt,color=qqzzqq] (0,13)-- (6,13);
\draw [line width=3.6pt,color=qqzzqq] (9,13)-- (15,13);
\draw [line width=3.6pt,color=qqzzqq] (18,13)-- (24,13);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (0,8)-- (3,8);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (8,8)-- (11,8);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (16,8)-- (19,8);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (24,8)-- (27,8);
\draw (5.58,12.59) node[anchor=north west] {6 min};
\draw (8.87,12.59) node[anchor=north west] {9};
\draw (14.69,12.64) node[anchor=north west] {15};
\draw (17.64,12.59) node[anchor=north west] {18};
\draw (2.67,7.68) node[anchor=north west] {3 min};
\draw (7.87,7.68) node[anchor=north west] {8};
\draw (10.68,7.63) node[anchor=north west] {11};
\draw (15.59,7.63) node[anchor=north west] {16};
\draw (18.64,7.63) node[anchor=north west] {19};
\draw (23.65,7.68) node[anchor=north west] {24};
\draw (6,13)-- (9,13);
\draw (15,13)-- (18,13);
\draw (3,8)-- (8,8);
\draw (11,8)-- (16,8);
\draw (19,8)-- (24,8);
\draw (15.16,18.5) node[anchor=north west] {Vitesse : 40 km/h};
\draw (15.93,10.35) node[anchor=north west] {Vitesse : 60 km/h};

\draw [line width=2pt,color=black] (24,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black](0,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (24,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [color=black] (0,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (24,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (1,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (2,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (3,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (4,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (5,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (6,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (7,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (8,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (9,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (10,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (11,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (12,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (13,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (14,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (15,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (16,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (17,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (18,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (19,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (20,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (21,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (22,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (23,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (8,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (16,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (0,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [color=black] (0,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (27,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (1,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (2,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (3,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (4,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (5,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (6,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (7,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (8,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (9,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (10,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (11,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (12,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (13,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (14,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (15,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (16,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (17,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (18,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (19,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (20,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (21,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (22,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (23,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (24,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (25,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (26,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (6,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (12,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (18,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}

On observe sur le dessin ci-dessus que les véhicules ont peu de chance de se croiser lorsqu’ils sont 
à l’arrêt sauf si leur position est la même. \\
Une lecture laborieuse du schéma fait apparaitre que les 
véhicules ne peuvent pas se croiser entre la $6\ieme{}$ et la $8\ieme{}$ minute de trajet car la voiture V1 
est à 4 km tandis que V2 est à 3 km. \\
De même, elles ne peuvent pas se trouver au même niveau entre la $15\ieme{}$ 
et la $16\ieme{}$ minute. Mais, on ne cherche pas à savoir quand les voitures ne peuvent pas se croiser 
mais si elles le peuvent et combien de fois.\\

\definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.86,3.29) rectangle (29.37,18.98);
\draw [line width=2pt] (0,16)-- (24,16);
\draw [line width=2pt] (0,13)-- (24,13);
\draw [line width=2pt] (0,8)-- (27,8);
\draw [line width=2pt] (0,5)-- (24,5);
\begin{scriptsize}
\draw (23.41,17.6) node[anchor=north west] {12 km};
\draw [color=qqzzqq](4.91,18.45) node[anchor=north west] {Voiture 1 };
\draw [color=zzqqzz](4.86,10.11) node[anchor=north west] {Voiture 2};
\draw (23.7,4.44) node[anchor=north west] {12 km};
\draw (23.22,12.59) node[anchor=north west] {24 min};
\draw (26.66,9.16) node[anchor=north west] {27 min};
\draw [line width=3.6pt,color=qqzzqq] (0,13)-- (6,13);
\draw [line width=3.6pt,color=qqzzqq] (9,13)-- (15,13);
\draw [line width=3.6pt,color=qqzzqq] (18,13)-- (24,13);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (0,8)-- (3,8);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (8,8)-- (11,8);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (16,8)-- (19.03,8);
\draw [line width=4pt,color=zzqqzz] (24,8)-- (27,8);
\draw (5.58,12.59) node[anchor=north west] {6 min};
\draw (8.87,12.59) node[anchor=north west] {9};
\draw (14.69,12.64) node[anchor=north west] {15};
\draw (17.64,12.59) node[anchor=north west] {18};
\draw (2.67,9.25) node[anchor=north west] {3 min};
\draw (7.82,9.2) node[anchor=north west] {8};
\draw (10.59,9.2) node[anchor=north west] {11};
\draw (15.5,9.16) node[anchor=north west] {16};
\draw (18.69,9.16) node[anchor=north west] {19};
\draw (23.65,9.06) node[anchor=north west] {24};
\draw (6,13)-- (9,13);
\draw (15,13)-- (18,13);
\draw (3,8)-- (8,8);
\draw (11,8)-- (16,8);
\draw (19.03,8)-- (24,8);
\draw (15.16,18.5) node[anchor=north west] {Vitesse : 40 km/h};
\draw (15.93,10.35) node[anchor=north west] {Vitesse : 60 km/h};
\draw [latex-,line width=1.8pt] (8,16) -- (6,13);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (6,13) -- (8,16);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (8,16) -- (9,13);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (9,13) -- (8,16);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (15,13) -- (16,16);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (16,16) -- (18,13);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (3,8) -- (6,5);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (6,5) -- (3,8);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (6,5) -- (8,8);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (8,8) -- (6,5);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (16,16) -- (15,13);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (18,13) -- (16,16);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (11,8) -- (12,5);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (12,5) -- (11,8);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (12,5) -- (16,8);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (16,8) -- (12,5);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (19.03,8) -- (18,5);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (18,5) -- (19.03,8);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (18,5) -- (24,8);
\draw [latex-,line width=1.8pt] (24,8) -- (18,5);

\draw [line width=2pt,color=black] (24,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (0,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (24,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [color=black] (0,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (24,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (1,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (2,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (3,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (4,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (5,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (6,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (7,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (8,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (9,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (10,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (11,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (12,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (13,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (14,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (15,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (16,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (17,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (18,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (19,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (20,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (21,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (22,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (23,13)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (8,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (16,16)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (0,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [color=black] (0,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (27,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (1,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (2,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (3,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (4,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (5,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (6,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (7,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (8,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (9,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (10,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (11,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (12,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (13,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (14,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (15,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (16,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (17,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (18,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (19.03,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (21,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (22,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (23,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (24,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (25,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [color=black] (26,8)-- ++(-2.5pt,0 pt) -- ++(5.0pt,0 pt) ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(0 pt,5.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (6,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (12,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\draw [line width=2pt,color=black] (18,5)-- ++(-3.5pt,0 pt) -- ++(7.0pt,0 pt) ++(-3.5pt,-3.5pt) -- ++(0 pt,7.0pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}

Sur la figure ci-dessus on lit qu’à $x $ km du point de départ, on peut associer plusieurs instants $t$. \\
La grandeur $t$  n’est pas une fonction  de $x$  au sens mathématique du terme. \\



\textbf{Solution 1 :} Un tableau permettrait cependant de croiser les informations ci-dessus :\\


\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{0,75cm}}
\begin{tabular}{|c|*{11}{H|}} \hline
  $t$  en minutes   & 1  & 2  & 3  &4 &5  &6  &7  &8  &9  &10  \\ \hline
  kilomètres parcourus par V1 & 0,67    & 1,33      & 2    & 2,67    &\cellcolor{green}  3,33 & \cellcolor{green}4   &\cellcolor{green} 4  & \cellcolor{green}4 & \cellcolor{green}4  & 4,67     \\ \hline 
  kilomètres parcourus par V2 & \cellcolor{green}1    & \cellcolor{green} 2     &\cellcolor{green}3     & \cellcolor{green}3    &3 & 3   &3   & 3& \cellcolor{green}4  & \cellcolor{green}5      \\ \hline     
\end{tabular}

\vspace{0,5cm}
\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{0,75cm}}
\begin{tabular}{|c|*{11}{H|}} \hline
  $t$  en minutes   		  & 11    & 12 & 13  &14 &15  &16  &17  &18  &19  &20  \\ \hline
  kilomètres parcourus par V1 & 5,33  & \cellcolor{green}6  &\cellcolor{green} 6,67&\cellcolor{green} 7,33 &\cellcolor{green}8&\cellcolor{green} 8 &\cellcolor{green}8  &\cellcolor{green} 8 & 8,67  & \cellcolor{green}9,33     \\ \hline 
  kilomètres parcourus par V2 &\cellcolor{green} 6    &\cellcolor{green}  6     &6     & 6    &6 & 6   &7   & 8&\cellcolor{green} 9  & 9      \\ \hline     
\end{tabular}

\vspace{0,5cm}
\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{0,9cm}}
\begin{tabular}{|c|*{8}{H|}} \hline
  $t$  en minutes   & 21  & 22  & 23  &24 &25  &26  &27  \\ \hline
  kilomètres parcourus par V1 & \cellcolor{green}10    & \cellcolor{green}10,67      & \cellcolor{green}11,33    & \cellcolor{green}12    &\cellcolor{lightgray}  & \cellcolor{lightgray}    & \cellcolor{lightgray}        \\ \hline 
  kilomètres parcourus par V2 &9   &  9     &9     & 9    &10 & 11   &12         \\ \hline     
\end{tabular}

\vspace{0,5cm}
Le tableau ci-dessus indique le véhicule qui se trouve en avance sur l’autre à chaque minute. \\
Jusqu’à la 4\ieme{} minute, V2 est devant V1. V1 double V2 entre la 4\ieme{} et la 5\ieme{} minute 
et se trouve devant V2 jusqu’à la 9\ieme{} minute. V1 et V2 se trouvent au même niveau dans le bouchon à cette 9\ieme{} minute,
 etc\dots . \\

\textbf{On compte ainsi 5 occasions au cours desquelles V1 et V2 sont au même niveau dans le bouchon.}\\
\newpage

Les élèves peuvent aussi réaliser un graphique à partir des tableaux (*) donnant :\\


\textbullet\quad	Soit le temps écoulé en fonction de la distance parcourue : \textbf{Solution 2 }\\
	
\begin{minipage}{10cm}

\definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
\definecolor{zzzzzz}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.3][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=zzzzzz,dash pattern=on 6pt off 6pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.29,-0.98) grid (16.52,30);
\draw[->,color=black] (-1.29,0) -- (16.52,0);
\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-0.98) -- (0,30);
\foreach \y in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-1.29,-0.98) rectangle (16.52,30);
\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (0,0)-- (4,6);
\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (4,6)-- (4,9);
\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (4,9)-- (8,15);
\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (8,15)-- (8,18);
\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (8,18)-- (12,24);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (0,0)-- (3,3);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (3,3)-- (3,8);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (3,8)-- (6,11);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (6,11)-- (6,16);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (6,16)-- (9,19);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (9,19)-- (9,24);
\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (9,24)-- (12,27);
\draw [color=zzqqzz](12.28,27.7) node[anchor=north west] {Voiture 2};
\draw [color=qqzzqq](12.28,24.53) node[anchor=north west] {Voiture 1};
\draw (0.26,29.88) node[anchor=north west] {Temps écoulé en min};
\draw (6.06,2.3) node[anchor=north west] {Distance parcourue en km};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}

	Sur le graphique ci-contre, on lit que les deux véhicules se trouvent ensemble : \\
	
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] à 3 km du départ lorsque 4min 30s se sont écoulées,
		\item[$\bullet$] à 4 km du départ quand 9 minutes se sont écoulées,
		\item[$\bullet$] à 6 km du départ,
		\item[$\bullet$] à 8 km du départ,
		\item[$\bullet$] et à 9 km du départ.
		\end{itemize}
		\bigskip
\textbf{	Les deux véhicules se sont donc trouvés 5 fois au même niveau.	}

	
\end{minipage}

\vspace{1cm}
\textbullet	\quad Soit la distance parcourue en fonction du temps écoulé : \textbf{Solution 3}

\begin{center}
	\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
	\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
	\definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
	\definecolor{cccccc}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
	\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1,0,0}
	\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0}
	\definecolor{zzqqzz}{rgb}{0.6,0,0.6}
	\definecolor{cccccc}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
	\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\draw [color=cccccc,dash pattern=on 6pt off 6pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.02,-1.34) grid (28.5,14.25);
	\draw[->,color=black] (-1.02,0) -- (28.5,0);
	\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28}
	\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
	\draw[->,color=black] (0,-1.34) -- (0,14.25);
	\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
	\draw[shift={(0,\y)},color=black] (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
	\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
	\clip(-1.02,-1.34) rectangle (28.5,14.25);
	\draw [color=zzqqzz](25.5,13.08) node[anchor=north west] {Voiture 2};
	\draw [color=qqzzqq](21.38,13.03) node[anchor=north west] {Voiture 1};
	\draw (19.7,1.37) node[anchor=north west] {Temps écoulé en min};
	\draw (0.69,14.5) node[anchor=north west] {Distance parcourue en km};
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (0,0)-- (3,3);
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (3,3)-- (8,3);
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (8,3)-- (11,6);
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (11,6)-- (16,6);
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (16,6)-- (19,9);
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (19,9)-- (24,9);
	\draw [line width=2pt,dash pattern=on 12pt off 12pt,color=zzqqzz] (24,9)-- (27,12);
	\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (0,0)-- (6,4);
	\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (6,4)-- (9,4);
	\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (9,4)-- (15,8);
	\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (15,8)-- (18,8);
	\draw [line width=2pt,color=qqzzqq] (18,8)-- (24,12);
	\begin{scriptsize}
	\draw [color=ffqqqq] (4.5,3)-- ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(5.0pt,5.0pt) ++(-5.0pt,0) -- ++(5.0pt,-5.0pt);
	\draw[color=ffqqqq] (4.31,4.18) node {$A$};
	\draw [color=ffqqqq] (9,4)-- ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(5.0pt,5.0pt) ++(-5.0pt,0) -- ++(5.0pt,-5.0pt);
	\draw[color=ffqqqq] (8.7,4.95) node {$B$};
	\draw [color=ffqqqq] (12,6)-- ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(5.0pt,5.0pt) ++(-5.0pt,0) -- ++(5.0pt,-5.0pt);
	\draw[color=ffqqqq] (11.74,7.1) node {$C$};
	\draw [color=ffqqqq] (18,8)-- ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(5.0pt,5.0pt) ++(-5.0pt,0) -- ++(5.0pt,-5.0pt);
	\draw[color=ffqqqq] (17.53,8.94) node {$D$};
	\draw [color=ffqqqq] (19.5,9)-- ++(-2.5pt,-2.5pt) -- ++(5.0pt,5.0pt) ++(-5.0pt,0) -- ++(5.0pt,-5.0pt);
	\draw[color=ffqqqq] (19.51,10.11) node {$E$};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Sur le graphique ci-dessus, on lit que les deux véhicules se trouvent ensemble : \\
	
	\begin{itemize}
		\item[$\bullet$] entre la 4\ieme{} et la 5\ieme{} minute du parcours,
		\item[$\bullet$] à la 9\ieme{} minute
		\item[$\bullet$] à la 12\ieme{} minute,
		\item[$\bullet$] à la 18\ieme{} minute
		\item[$\bullet$] et entre la 19\ieme{} et la 20\ieme{} minute du parcours
		\end{itemize}
		\bigskip
\textbf{	Les deux véhicules se sont donc trouvés 5 fois au même niveau.}	\\
	
\vspace{1cm}	
En prolongement, les élèves pourraient déterminer  la position $d$  (en km) en fonction du temps 
et définir ainsi une fonction affine définie par morceaux.\\
La distance parcourue par le véhicule V1 en fonction du temps est donnée par la fonction affine par morceaux suivante :\\

(on rappelle que V1 se déplace à 40 km/h soit 40 km en 60 minutes)\\

\begin{itemize}
	\item Si $0\leqslant t \leqslant 6$ alors $D_1(t) = \frac{40}{60} \times t = \frac{2}{3}t$   
	\item Si $6\leqslant t \leqslant 9$ alors $D_1(t) = \frac{2}{3}\times 6 = 4$  
	\item Si $9\leqslant t \leqslant 15$ alors $D_1(t) = \frac{2}{3}t + b$  avec $b=D_1(9)- \frac{2}{3}\times 9 = -2,\quad $donc $ D_1(t)=\frac{2}{3}t - 2$
	\item Si $15\leqslant t \leqslant 18$ alors $D_1(t) = D_1(15)= 8$  
	\item Si $18\leqslant t \leqslant 24$ alors $D_1(t) = \frac{2}{3}t + b$  avec $b=D_1(18)- \frac{2}{3}\times 18 = -4,\quad $donc $ D_1(t)=\frac{2}{3}t - 4$
\end{itemize}

\medskip
La distance parcourue par le véhicule V2 en fonction du temps est donnée par la fonction affine par morceaux suivante :\\

\begin{itemize}
	\item Si $0\leqslant t \leqslant 3$ alors $D_2(t) = \frac{60}{60} \times t = t$   
	\item Si $3\leqslant t \leqslant 8$ alors $D_2(t) = 3$  
	\item Si $8\leqslant t \leqslant 11$ alors $D_2(t) = t + b$  avec $b=D_2(8)- 8 = 3-8 = -5,\quad $donc $ D_2(t)=t - 5$
	\item Si $11\leqslant t \leqslant 16$ alors $D_2(t) = D_2(11)= 6$  
	\item Si $16\leqslant t \leqslant 19$ alors $D_2(t) = t + b$  avec $b=D_2(16)- 16 = 6-16=-10,\quad $donc $ D_2(t)=t - 10$
	\item Si $19\leqslant t \leqslant 24$ alors $D_2(t) = D_2(19)= 9$  
	\item Si $24\leqslant t \leqslant 27$ alors $D_2(t) = t + b$  avec $b=D_2(24)- 24 = 9-24=-15,\quad $donc $ D_2(t)=t - 15$
\end{itemize}
\medskip
On peut désormais résoudre $D_1(t)=D_2(t)$  successivement sur les intervalles \intf{0}{3}~;~\intf{3}{6}~;~\intf{6}{8}~;\\
~\intf{8}{9}~;~\intf{9}{11}~;~\intf{11}{15}~;~\intf{15}{16}~;~\intf{16}{18}~;~\intf{18}{19}~;~\intf{19}{24}  en utilisant 
les expressions de $D_1(t)$ et $D_2(t)$  adaptées.\\



\medskip
\textbf{En conclusion, les véhicules se trouveront 5 fois au même niveau et c’est le véhicule V1 qui arrive en tête à l’entrée du tunnel.}
	

