\section{Partage}
\subsection{Le sujet}
Nathan doit rendre son devoir de mathématiques après-demain et il n’a toujours 
pas trouvé la solution de l’exercice suivant :\\

« ABC est un triangle dont le côté [AB] est partagé en quatre segments de même longueur. 
Donner un programme de construction permettant, sans effectuer de mesure, de partager le côté [AC] 
en cinq segments de même longueur et réaliser cette construction.»\\

Il décide alors de chercher des idées sur Internet et trouve sur un forum la construction suivante :\\

« ABC est un triangle dont le côté [AB] est partagé en deux segments de même longueur. \\
Pour partager le côté [AC] en trois segments de même longueur, il suffit de:

\begin{minipage}{8cm}
	\begin{itemize}
		\item Nommer M le milieu de [AB].\\
		
		\item 	Tracer [MC]  et construire son milieu N.\\
		
		\item 	Tracer [AN]  et construire son milieu P.\\
		
		\item 	Les droites (MP) et (BN) coupent [AC] respectivement en I et J.
	\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.6,-0.3) rectangle (9.8,7.56);
		\draw (5,7)-- (9,0);
		\draw (9,0)-- (0,2);
		\draw (0,2)-- (5,7);
		\draw (2.5,4.5)-- (9,0);
		\draw (0,2)-- (5.75,2.25);
		\draw [domain=2.5:9.80000000000001] plot(\x,{(--7.63-2.38*\x)/0.38});
		\draw [domain=5.0:9.80000000000001] plot(\x,{(--29-4.75*\x)/0.75});
		\begin{scriptsize}
		\fill [color=black] (0,2) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (-0.36,2.26) node {A};
		\fill [color=black] (5,7) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (4.9,7.3) node {B};
		\fill [color=black] (9,0) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (9.36,0) node {C};
		\fill [color=black] (2.5,4.5) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (2.4,4.9) node {M};
		\fill [color=black] (5.75,2.25) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (6,2.52) node {N};
		\fill [color=black] (2.88,2.13) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.12,2.38) node {P};
		\fill [color=black] (3,1.33) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.2,1.6) node {I};
		\fill [color=black] (6,0.67) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (6.22,0.92) node {J};
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
\end{minipage}
\par
\medskip
Les points I et J partagent alors le côté [AC] en trois segments de même longueur.»\\

Curieux et prudent, Nathan décide de vérifier que la construction proposée est valable 
et il réussit à démontrer le résultat annoncé.
Et comme il n’a  pas d’autres pistes, il décide d’adapter cette méthode à son problème.
Après quelques essais, il trouve une solution et rédige son programme de construction.\\

A vous maintenant !\\

\textbf{Démontrez le résultat annoncé sur Internet et proposez une réponse au devoir \\de Nathan.}

\subsection{Analyse a priori}
La justification de la construction proposée permet aux élèves de s’approprier le problème.
Elle peut être rédigée de différentes manières, en utilisant la propriété de Thalès ou le théorème de la droite 
des milieux qui sont des outils de base de la géométrie de collège.\\ 
Cependant, pour les utiliser correctement, les élèves devront être capables d’isoler une figure dans 
une figure complexe et distinguer propriété directe et réciproque.\\

La recherche d’une solution au problème posé à Nathan laisse l’initiative aux élèves. 
L’analyse de la construction proposée peut les mettre sur une piste de solution sans 
pour autant les guider ni les obliger à partir dans cette direction 
et ils peuvent aussi trouver une solution indépendante de la construction précédente.\\
La justification n’est pas demandée mais pourra être travaillée en classe en prolongement.\\


\subsection{Éléments de solution}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{itemize}
	\item Considérons le triangle ABN.\\
	M est le milieu de [AB] et  P est le milieu de [AN], donc d’après le théorème de la droite des milieux, 
	(MP) est parallèle à  (BN).
	 \item Considérons le triangle ANJ.\\
	P est le milieu de [AN] et (PI) est parallèle à (NJ), donc d’après le théorème des milieux, I est le milieu de [AJ]\\ d'où  AI = IJ.\\
	
	\item 	Considérons le triangle MCI.\\
	N est le milieu de [MC] et (MI) est parallèle à (NJ),
	donc d’après le théorème des milieux, 
	J est le milieu de [IC] \\d'où IJ = JC.
\end{itemize}	

	En résumé, AI = IJ et IJ = JC 
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.6,-0.3) rectangle (9.8,7.56);
		\draw (5,7)-- (9,0);
		\draw (9,0)-- (0,2);
		\draw (0,2)-- (5,7);
		\draw (2.5,4.5)-- (9,0);
		\draw (0,2)-- (5.75,2.25);
		\draw [domain=2.5:9.80000000000001] plot(\x,{(--7.63-2.38*\x)/0.38});
		\draw [domain=5.0:9.80000000000001] plot(\x,{(--29-4.75*\x)/0.75});
		\begin{scriptsize}
		\fill [color=black] (0,2) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (-0.36,2.26) node {A};
		\fill [color=black] (5,7) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (4.9,7.3) node {B};
		\fill [color=black] (9,0) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (9.36,0) node {C};
		\fill [color=black] (2.5,4.5) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (2.4,4.9) node {M};
		\fill [color=black] (5.75,2.25) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (6,2.52) node {N};
		\fill [color=black] (2.88,2.13) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.12,2.38) node {P};
		\fill [color=black] (3,1.33) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.2,1.6) node {I};
		\fill [color=black] (6,0.67) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (6.22,0.92) node {J};
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}	
	\end{center}
\end{minipage}
\par
\bigskip
\textbf{Les points I et J partagent donc bien le côté [AC] en trois segments de même longueur.}\\



Pour répondre au problème de Nathan, on peut imaginer un solution inspirée de la construction proposée.

\subsubsection{Solution 1, inspirée de la construction proposée.}
\begin{center}
	\definecolor{qqqqcc}{rgb}{0,0,0.8}
	\definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
	\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.76,-0.62) rectangle (12.02,8.58);
	\draw (11.56,8.12)-- (9.36,0);
	\draw (9.36,0)-- (0,1.4);
	\draw (0,1.4)-- (11.56,8.12);
	\draw (2.89,3.08)-- (9.36,0);
	\draw (0,1.4)-- (7.74,0.77);
	\draw [domain=-0.7600000000000015:2.89] plot(\x,{(--2.37-1.84*\x)/-0.95});
	\draw [domain=-0.7600000000000015:11.56] plot(\x,{(--53.97-7.35*\x)/-3.82});
	\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt,color=qqqqcc,domain=-0.7600000000000015:4.5075] plot(\x,{(--4.05-1.23*\x)/-0.64});
	\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt,color=qqqqcc,domain=-0.7600000000000015:6.125] plot(\x,{(--3.26-0.61*\x)/-0.32});
	
	\fill [color=black] (0,1.4) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-0.36,1.66) node {A};
	\fill [color=black] (11.56,8.12) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (11.66,8.42) node {B};
	\fill [color=black] (9.36,0) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (9.82,0) node {C};
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=uququq] (5.78,4.76) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (8.67,6.44) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (2.89,3.08) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (2.88,3.54) node {M};
	\fill [color=uququq] (6.13,1.54) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (7.74,0.77) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (7.66,1.22) node {N};
	\fill [color=uququq] (4.51,2.31) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (3.87,1.09) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (5.81,0.93) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (1.94,1.24) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (1.82,1.66) node {P};
	\fill [color=uququq] (1.87,1.12) circle (0.5pt);
	\draw[color=uququq] (1.96,0.84) node {I};
	\fill [color=uququq] (3.74,0.84) circle (0.5pt);
	\draw[color=uququq] (3.88,0.52) node {K};
	\fill [color=uququq] (5.62,0.56) circle (0.5pt);
	\draw[color=uququq] (5.8,0.28) node {L};
	\fill [color=uququq] (7.49,0.28) circle (0.5pt);
	\draw[color=uququq] (7.68,-0.02) node {J};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}
\medskip
Construire au compas : 
\begin{itemize}
	\item le point M du segment [AB] tel que AM = $\dfrac{1}{4}$AB.
	\item le point N du segment [CM] tel que CN = $\dfrac{1}{4}$CM.
	\item le point P du segment [AN] tel que AP = $\dfrac{1}{4}$AN.
\end{itemize}

Les droites (MP) et (BN) coupent le segment [AC] respectivement en I et en J.\\
Construire au compas les points K et L du segment [IJ] tels que AI = IK et CJ = JL.\\
Le côté [AC] est alors partagé en cinq segments de même longueur.\\

Justification : \\
Par contruction, $\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AN}}=\dfrac{1}{4}$\\

En appliquant la réciproque de la propriété de Thalès au triangle ABN, (MP) est parallèle à (BN).\\
En appliquant la propriété de Thalès dans le triangle ABJ, $\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{\mathrm{AI}}{\mathrm{AJ}}=\dfrac{1}{4}$ \\
 
donc AI = $\dfrac{1}{4}$AJ  et  IJ = $\dfrac{3}{4}$AJ = 3 AI.\\

En appliquant la propriété de Thalès dans le triangle IMC, $\dfrac{\mathrm{CN}}{\mathrm{CM}}=\dfrac{\mathrm{CJ}}{\mathrm{CI}}=\dfrac{1}{4}$   \\

donc CJ = $\dfrac{1}{4}$CI  et  IJ = $\dfrac{3}{4}$CI = 3 CJ.\\

Par conséquent, AI = CJ = $\dfrac{1}{3}$IJ.\\

Par construction, les points K et L du segment [IJ] sont tels que AI = IK et CJ = JL \\

donc  IK = KL = LJ = $\dfrac{1}{3}$IJ .\\

\textbf{Les points I, J, L et K partagent donc bien le côté [AC] en cinq segments de même longueur.}\\

Remarque :\\
On peut aussi utiliser les points de la subdivision des segments [MN] et [PN] pour
tracer des parallèles à la droite (MP) et partager le segment [IJ] en trois segments de longueur égale à  celle du segment [AI].

\subsubsection{Solution 2, indépendante de la construction proposée}
Rappel : [AB] étant partagé en 4 segments de même longueur, en déduire un partage de [AC] en 5 segments de même longueur.

\begin{center}
	\definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-5.74,-0.52) rectangle (11.8,8.14);
	\draw (-4.96,0.46)-- (6.06,0);
	\draw (6.06,0)-- (0,7.68);
	\draw (0,7.68)-- (-4.96,0.46);
	\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt] (0,7.68)-- (11.02,7.22);
	\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt] (11.02,7.22)-- (6.06,0);
	\draw (-1.24,5.88)-- (11.02,7.22);	
	\fill [color=black] (0,7.68) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-0.36,7.94) node {A};
	\fill [color=black] (-4.96,0.46) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (-5.26,0.56) node {B};
	\fill [color=black] (6.06,0) circle (1.5pt);
	\draw[color=black] (6.36,-0.1) node {C};
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=uququq] (-2.48,4.07) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (-3.72,2.27) circle (1.5pt);
	\fill [color=uququq] (-1.24,5.88) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (-1.24,6.34) node {M};
	\fill [color=uququq] (11.02,7.22) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (11.16,7.48) node {F};
	\fill [color=uququq] (1.21,6.14) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (1.38,6.4) node {G};
	\fill [color=uququq] (3.64,3.07) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (3.74,3.34) node {I};
	\fill [color=uququq] (2.42,4.61) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (2.58,4.86) node {H};
	\fill [color=uququq] (4.85,1.54) circle (1.5pt);
	\draw[color=uququq] (4.96,1.8) node {J};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}
\medskip
\begin{itemize}

	\item 	Construire au compas le point M du segment [AB] tel que  AM = $\dfrac{1}{4} AB$.\\
	\item 	Construire le point F tel que ABCF soit un parallélogramme. \\
	Le segment [MF] coupe [AC] en G.\\
	\item 	Construire au compas les points H, I, et J du segment [GC] tels que GA = GH = HI = IJ.\\
	Le côté [AC] est alors partagé en cinq segments de même longueur.\\	
\end{itemize}


Justification : \\

ABCF étant un parallélogramme, les droites (AM) et (CF) sont parallèles et on peut déduire 
de la propriété de Thalès appliquée aux triangles GAM et GCF que  $\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{CF}}=\dfrac{\mathrm{GA}}{\mathrm{GC}}$.\\

De plus CF = AB donc  $\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{CF}}=\dfrac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{1}{4}$ 
 et par suite,  $\dfrac{\mathrm{GA}}{\mathrm{GC}}=\dfrac{1}{4}$ .\\

G est donc tel que  GC = 4GA ou encore  AG = $\dfrac{1}{5}$AC.\\

Par construction, les points H, I et J du segment [GC] sont tels que GA = GH = HI = IJ = $\dfrac{1}{5}$AC et par suite JC = $\dfrac{1}{5}$AC.\\


\textbf{Le segment [AC] est donc bien partagé en cinq segments de même longueur.}
\newpage









