\subsection{Analyse a priori} 
Le problème consiste à déterminer le prix d’un lot sachant que l’on connaît (en partie) son produit par 72. On a $72 \times ? = \_67,9\_.$  \\
En considérant le prix d’un lot et le prix "énigme " en centimes d’euros, et non en \euro{} le problème est ramené à la résolution de $72 \times ? = \_679\_$ où "?" et notre prix "énigme" sont des entiers. \\
Cet exercice d’arithmétique peut être traité en utilisant les critères de divisibilité d’un nombre par $72$ ou bien en cherchant par tâtonnement un multiple de $72$ qui conviendra.
\subsection{Éléments de solution}
\subsubsection{Par balayage }
  \begin{minipage}{6cm}
    \begin{center}
      

   \begin{tabular}{|c|c|}\hline
   1&72\\ \hline
   2&144 \\ \hline
   3&216 \\ \hline
   4&288\\ \hline
 \cellcolor{gray!50}5 &\cellcolor{gray!50}360 \\ \hline
  6&432\\ \hline
  7&504\\ \hline
  8&576\\ \hline
  9& 648   \\ \hline
  10& 720\\ \hline
  11&792\\ \hline
  \cellcolor{gray!50}12&\cellcolor{gray!50}864\\ \hline
  13&936 \\ \hline
  14&1008 \\ \hline
  15&1080 \\ \hline
  16&1152 \\ \hline
  17&1224 \\ \hline
  etc&etc\\ \hline
    
   \end{tabular}
       \end{center}  
  \end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
  En listant les multiples de $72$\
  \medskip
\begin{enumerate}
  \item il apparaît que le prix d'un lot est inférieur à $14$ \euro{} puisque le prix "énigme" s'élève à moins de 1000 \euro{}.
  \item Parmi ces multiples, on observe que $5 \times 72 = 3\mathbf{6}0$ et $12 \times 72 = 8\mathbf{6}4$ ont la particularité d’avoir \textbf{6} pour chiffre des dizaines.\\
  Le prix unitaire pourrait être compris entre 5 \euro{} et 6 \euro{} (1\iere{} hypothèse) ou entre 12 \euro{} et 13 \euro{} (2\ieme{} hypothèse).
  \item Suivons notre première hypothèse : $\_67,9\_ = 360 + 7,9\_$ et
  raisonnons maintenant en centimes d’euros. \\
  $7,9\_ $euros = $79\_$ centimes d’euros. Cherchons dans le
  tableau ci-contre un multiple de $72$ qui s’approche de $79\_$.
  Il y a $11 \times 72 = 792$ c’est-à-dire $0,11\times 72 = 7,92.$ \\On peut
  maintenant conclure que le prix énigme est de : \\
  $360 + 7,92 = 367,92$ (et le prix d’un lot est de $5,11$ \euro{}). 
  \item Et si nous avions suivi notre 2\ieme{} hypothèse ? \\$\_67,9\_= 864 + 3,9\_$. Raisonnons maintenant en centimes d’euros : $3,9\_$ euros = $39\_$ centimes d’euros.\\
  Cherchons dans le tableau ci-contre un multiple de $72$ qui s’approche de $39\_$. Il n'y en a pas !  
\end{enumerate}
  
\end{center}  
\end{minipage}
\subsubsection{En utilisant les critères de divisibilité} 
 $72 \times ? = \_67,9\_$  indique que le prix "énigme"est un multiple de $72$. Il est donc divisible par $72$, mais aussi par tous les diviseurs de 72 qui sont $2, 4, 3, 6, 8, 9,\dots$. \\

\textbf{Première solution :   }
\begin{enumerate}
  \item Comme $\_679\_$ est divisible par $2$ alors il est pair : \{$\_679\mathbf{0}, \_679\mathbf{2}, \_679\mathbf{4}, \_679\mathbf{6}, \_679\mathbf{8}$ \}.
  \item Comme  $\_679\_$ est divisible par 3 alors la somme de ses chiffres l'est aussi.
  \medskip
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline
      &$\_6790$&$\_6792$&$\_6794$&$\_6796$&$\_6798$\\ \hline
      \multirow{3}{4cm}{Somme des chiffres doit être un multiple de 3}&$26790$&$36792$&$16794$&$26796$&$36798$\\ 
     & $56790$&$66792$&$46794$&$56796$&$6798$\\ 
      &$86790$&  &$76794$&$86796$&$96798$\\ \hline 
    \end{tabular}   
  \end{center}
Parmi les hypothèses faites ci-dessus, certains nombres ne sont pas de multiples de $72$ et ne correspondent, donc, pas au "prix énigme". Testons les :

\medskip
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}\hline
    &$\_6790$&$\_6792$&$\_6794$&$\_6796$&$\_6798$\\ \hline
    \multirow{3}{6cm}{Je barre les nombres qui ne sont pas multiples de 72 (le reste de la division euclidienne n'est pas nul)} &\sout{$26790$}&\textbf{$36792$}&\sout{$16794$}&\sout{$26796$}&\sout{$36798$}\\ 
   & \sout{$56790$}&\sout{$66792$}&\sout{$46794$}&\sout{$56796$}&\sout{$6798$}\\ 
    &\sout{$86790$}&  &\sout{$76794$}&\sout{$86796$}&\sout{$96798$}\\ \hline 
  \end{tabular}   
\end{center}
\medskip
Il apparaît qu'un seul nombre convient $36792$. Le prix est donc : $367,92$ \euro .\\

\textbf{Deuxième solution :  }
\item Comme $\_679\_$ est divisible par 4, alors ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 : $\{\_67\textbf{92}~;~\_67\textbf{96}\}$.
\item Comme $\_679\_$ est divisible par 3, la somme de ses chiffres l'est aussi.
\medskip
\begin{center}
   \begin{tabular}{|c|*{2}{c|}}\hline
     &$\_6792$&$\_6796$\\ \hline
     \multirow{3}{4cm}{Somme des chiffres doit être un multiple de 3}&$36792$&$26796$\\ 
   &$66792$&$56796$\\ 
    &  &$86796$\\ \hline 
   \end{tabular}   
 \end{center}
 \item parmi les hypothèses faites ci-dessus, certains nombres ne sont pas des multiples de $72$. Testons-les en effectuant leur division euclidienne par 72 :
 \medskip
 \begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{2}{c|}}\hline
      &$\_6792$&$\_6796$\\ \hline
      \multirow{3}{4cm}{Somme des chiffres doit être un multiple de 3}&\textbf{$36792$}&\sout{$26796$}\\ 
    &\sout{$66792$}&\sout{$56796$}\\ 
     &  &\sout{$86796$}\\ \hline 
    \end{tabular}   
  \end{center}
  Il apparaît qu'un seul nombre convient $36792$. Le prix est donc : $367,92$ \euro .\\ 
  
  \textbf{Conclusion : Le prix des $72$ lots est de $367,92$ \euro.  }
\end{enumerate}