\section{Cercles tangents}
\subsection{Le sujet}
Dans un carré de 10 cm de côté, on trace deux cercles de même rayon tangents entre eux
et tangents aux côtés du carré.\\


 \textbf{Calculer  le rayon des cercles en expliquant votre démarche.}\\

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.5,-0.44) rectangle (10.76,10.46);
	\draw (0,0)-- (10,0);
	\draw (10,0)-- (10,10);
	\draw (0,10)-- (10,0);
	\draw(0,0)-- (10,10);
	\draw (10,10)-- (0,10);
	\draw (0,10)-- (0,0);
	\draw(2.93,7.07) circle (2.93cm);
	\draw(7.07,2.93) circle (2.93cm);
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.28,-0.04) node {D};
	\fill [color=black] (10,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (10.34,-0.08) node {C};
	\fill [color=black] (10,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (10.34,10.18) node {B};
	\fill [color=black] (0,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.28,10.26) node {A};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}
\subsection{Analyse a priori}

Analyse d'une configuration décrite et déjà réalisée. \\
Problème  en troisième et en seconde basé sur la prise d’initiative.\\

L’idée de penser à faire un dessin peut les mettre sur la voie  ou du moins les conduire  à dégager certaines propriétés 
géométriques de la figure : diagonale du carré, cercle inscrit, mesures d’angles, bissectrices, théorème de Pythagore, trigonométrie …\\

La réalisation de la figure peut se faire à partir de deux cercles tangents extérieurement et de même rayon.\\

\vspace{-0,2cm}
\subsection{Éléments de solution}  
\subsubsection{Première méthode}
Les diagonales du carré se coupent au point de contact des deux cercles ;  on peut se ramener à un cercle inscrit dans un triangle rectangle.
\begin{center}
	\definecolor{ffqqtt}{rgb}{1,0,0.2}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.74,-0.34) rectangle (10.6,10.72);
	\draw(5.2,5.2) -- (5,5.4) -- (4.8,5.2) -- (5,5) -- cycle; 
	\draw [shift={(10,10)}] (0,0) -- (180:1.2) arc (180:225:1.2) -- cycle;
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (0,0) -- (-157.5:0.6) arc (-157.5:-135:0.6) -- cycle;
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (0,0) -- (180:0.6) arc (180:202.5:0.6) -- cycle;
	\draw(2.93,7.07) circle (2.93cm);
	\draw (0,10)-- (10,10);
	\draw (10,10)-- (0,0);
	\draw (0,0)-- (0,10);
	\draw (0,10)-- (5,5);
	\draw (10,10)-- (0,5.86);
	\draw (4.14,10)-- (0,0);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (-157.5:0.6) arc (-157.5:-135:0.6);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (-157.5:0.5) arc (-157.5:-135:0.5);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (180:0.6) arc (180:202.5:0.6);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (180:0.5) arc (180:202.5:0.5);
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.4,-0.04) node {D};
	\fill [color=black] (10,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (10.34,10.18) node {B};
	\fill [color=black] (0,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.4,10.26) node {A};
	\fill [color=black] (5,5) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (5.4,4.84) node {H};
	\fill [color=black] (2.93,7.07) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.56,7.04) node {O};
	\fill [color=black] (4.14,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (4.16,10.5) node {G};
	\fill [color=black] (0,5.86) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.38,5.9) node {F};

	\draw[color=black] (8.34,9.7) node {$45\textrm{\degre}$};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}

Le triangle ABD est rectangle isocèle en A.\\
D'après le théorème de Pythagore : BD$^2=10^2+10^2$ \hspace{2cm} d'où BD = $10\sqrt{2}$\\

L'angle $\widehat{\mathrm{ABD}}$ mesure 45\degre et la droite (BF) est sa bissectrice donc $\widehat{\mathrm{OBH}}$ mesure 22,5\degre.\\
Le triangle  ABD étant isocèle en A, la bissectrice issue de A est donc la médiatrice de [BD]. \\
Le triangle OBH est rectangle en H, milieu de [BD] donc  BH = 5$\sqrt{2}$ .\\

$\tan{\widehat{\mathrm{OBH}}}=\dfrac{\mathrm{OH}}{\mathrm{BH}}$ \hspace{2cm}donc \qquad \textbf{OH =} $5\sqrt{2}\times \tan{22,5}$\degre \hspace{1cm}On a alors OH $\approx 2,9$. \\

\vspace{0,5cm}
\textbf{Pour aller plus loin.}\\

$\tan{45}=\dfrac{2\tan{22,5}}{1-\tan^2{22,5}}$ \qquad donc $1 = \dfrac{2\tan{22,5}}{1-\tan^2{22,5}}$\qquad d'où $1-\tan^2{22,5} - 2\tan{22,5} = 0$\\

d'où $\tan^2{22,5} + 2\tan{22,5} -1 = 0$ \\

En posant $x = \tan{22,5}$,  l'expression devient $x^2+2x-1=0$.\\

Cette équation deux solutions, une positive et l'autre négative.\\

La solution positive est :\\
$x=\dfrac{-2 + 2\sqrt{2}}{2}$
$x= -1 + \sqrt{2}$
$x = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}$\\

Donc OH = $5\sqrt{2}\times \tan{22,5}$\degre
OH = $\dfrac{5\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}}$.

\subsubsection{Deuxième méthode.}

\begin{center}
	\definecolor{ffqqtt}{rgb}{1,0,0.2}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.45][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.74,-0.34) rectangle (10.6,11.5);
	\draw(5.2,5.2) -- (5,5.4) -- (4.8,5.2) -- (5,5) -- cycle; 
	\draw(2.65,10) -- (2.65,9.72) -- (2.93,9.72) -- (2.93,10) -- cycle; 
	\draw [shift={(10,10)}] (0,0) -- (180:1.2) arc (180:225:1.2) -- cycle;
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (0,0) -- (-157.5:0.6) arc (-157.5:-135:0.6) -- cycle;
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (0,0) -- (180:0.6) arc (180:202.5:0.6) -- cycle;
	\draw(2.93,7.07) circle (2.93cm);
	\draw (0,10)-- (10,10);
	\draw (10,10)-- (0,0);
	\draw (0,0)-- (0,10);
	\draw (0,10)-- (5,5);
	\draw (10,10)-- (0,5.86);
	\draw (4.14,10)-- (0,0);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (-157.5:0.6) arc (-157.5:-135:0.6);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (-157.5:0.5) arc (-157.5:-135:0.5);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (180:0.6) arc (180:202.5:0.6);
	\draw [shift={(10,10)},color=ffqqtt] (180:0.5) arc (180:202.5:0.5);
	\draw (2.93,10)-- (2.93,7.07);
	\draw (0,7.07)-- (2.93,7.07);
	\begin{scriptsize}
		\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.4,-0.04) node {D};
		\fill [color=black] (10,10) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (10.34,10.18) node {B};
		\fill [color=black] (0,10) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.4,10.26) node {A};
		\fill [color=black] (5,5) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (5.4,4.84) node {H};
		\fill [color=black] (2.93,7.07) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (3.56,7.04) node {O};
		\fill [color=black] (4.14,10) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.16,10.5) node {G};
		\fill [color=black] (0,5.86) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.38,5.9) node {F};
		\fill [color=black] (2.93,10) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (2.92,10.5) node {E};
		\draw[color=black] (8.34,9.7) node {$45\textrm{\degre}$};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}
	
	
\end{center}
\bigskip
E est le point de tangence du cercle avec (AB).
Le carré de côté [AE] et de diagonale [AO] a pour côté $r$, le rayon cherché.\\
AO = $r\sqrt{2}$.\\

AO + OH = AH  et AH =  5$\sqrt{2}$. Donc $r\sqrt{2}+ r = 5\sqrt{2}$ ; $r(1+ \sqrt{2}) = 5\sqrt{2}$ \\

D'où OH $= r$ avec  $r = \dfrac{5\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} $


\subsubsection{Troisième méthode.}
Cette méthode utilise des calculs d’aires : O étant le point d’intersection des trois bissectrices,
les rayons [OE], [OG] et [OH] sont respectivement perpendiculaires aux côtés [AB], [AD] et [DB].

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.45][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.9,-1) rectangle (11.34,11.5);
	\draw(5.2,5.2) -- (5,5.4) -- (4.8,5.2) -- (5,5) -- cycle; 
	\draw(2.65,10) -- (2.65,9.72) -- (2.93,9.72) -- (2.93,10) -- cycle; 
	\draw(0.28,7.07) -- (0.28,7.35) -- (0,7.35) -- (0,7.07) -- cycle; 
	\draw(2.93,7.07) circle (2.93cm);
	\draw (0,10)-- (10,10);
	\draw (10,10)-- (0,0);
	\draw (0,0)-- (0,10);
	\draw (0,10)-- (5,5);
	\draw (2.93,10)-- (2.93,7.07);
	\draw (0,7.07)-- (2.93,7.07);
	\draw (2.93,7.07)-- (10,10);
	\draw (2.93,7.07)-- (0,0);
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.2,-0.5) node {D};
	\fill [color=black] (10,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (10.14,10.5) node {B};
	\fill [color=black] (0,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.08,10.5) node {A};
	\fill [color=black] (5,5) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (5.2,4.64) node {H};
	\fill [color=black] (2.93,7.07) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.46,7.04) node {O};
	\fill [color=black] (2.93,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (2.92,10.5) node {E};
	\fill [color=black] (0,7.07) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.56,7.16) node {G};
	\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\bigskip
\begin{itemize}
	\item Aire du triangle ABD = $\dfrac{\textrm{AB} \times \textrm{AD}}{2} = \dfrac{ 10 \times 10}{2} = 50$\\
	
	\item Aire du triangle AOD (ou AOB) = $\dfrac{\textrm{AD} \times \textrm{OG}}{2} = \dfrac{ 10 \times r}{2} = 5r$\\
	
	\item Aire du triangle DOB = $\dfrac{\textrm{DB} \times \textrm{OH}}{2} = \dfrac{ 10\sqrt{2} \times r}{2} = 5\sqrt{2}\times r$\\
\end{itemize}

\medskip
Nous obtenons l'égalité : $5r+5r+5r\sqrt{2} = 50$\\

Soit $r +r+r\sqrt{2} =10$ \qquad ou \qquad $r(2+\sqrt{2}) = 10$ \\

et donc $r = \dfrac{10}{2 + \sqrt{2}}$\\


\subsubsection{Quatrième méthode.}
Un groupe d’élèves de 2\up{nde} nous a donné la figure ci-contre,
le centre O étant l’intersection de la diagonale et
du quart de cercle de centre C et de rayon 10 cm.

\begin{center}
 	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-0.8,-1) rectangle (11.18,11.5);
	\draw (0,0)-- (10,0);
	\draw (10,0)-- (10,10);
	\draw (10,10)-- (0,10);
	\draw(2.93,7.07) circle (2.93cm);
	\draw (0,10)-- (10,10);
	\draw (10,10)-- (0,0);
	\draw (0,0)-- (0,10);
	\draw (0,10)-- (5,5);
	\draw (5,5)-- (10,0);
\draw [shift={(10,0)}] plot[domain=1.57:3.14,variable=\t]({1*10*cos(\t r)+0*10*sin(\t r)},{0*10*cos(\t r)+1*10*sin(\t r)});
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.2,-0.5) node {D};
	\fill [color=black] (10,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (10.22,-0.5) node {C};
	\fill [color=black] (10,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (10.14,10.5) node {B};
	\fill [color=black] (0,10) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-0.08,10.5) node {A};
	\fill [color=black] (5,5) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (5,4.24) node {H};
	\fill [color=black] (2.93,7.07) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.46,7.04) node {O};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\medskip
À partir de cette figure, on calcule aisément OH:\\

OH = OC - HC = $10 - 5\sqrt{2} $	\\

\textbf{Comment prouver que O est bien centre du cercle inscrit ?}\\

Considérons le triangle DCO. Comme DC = OC, 
ce triangle est isocèle en C et l'on peut calculer la mesure de l'angle
 $\widehat{\textrm{CDO}}$ : (180\degre- 45\degre)/2 = $67,5$\degre.\\

Nous en déduisons la mesure de $\widehat{\textrm{HDO}}$ : $67,5$\degre- 45\degre = 22,5\degre.\\

La demi-droite [DO) partage l’angle $\widehat{\textrm{ADH}}$ en deux angles de même mesure $22,5$\degre, 
c’est donc sa bissectrice. [AO) étant une autre bissectrice du triangle ABD, le point O est bien le centre du cercle inscrit.\\


Remarque : $\dfrac{5\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = 10 - 5\sqrt{2}$ \qquad(en multipliant par l'expression conjuguée du dénominateur)






