
\subsection{Analyse a priori}
A l’aide d’une règle à bords parallèles, choisi comme gabarit, il est possible de tracer un octogone
régulier. \\
Cet instrument permet de tracer deux droites parallèles dont la distance entre
celles-ci est imposée, mais  aussi, avec un peu d’imagination, deux segments de droites parallèles
quelconques. \\
Dans une première approche, l’élève peut tracer quelques figures élémentaires, losange,
droites perpendiculaires… Mais très vite, l’élève doit revenir au problème posé. \\
Qu’est-ce qu’un octogone régulier ? Un tracé à main levé n’est pas satisfaisant, il devrait lister les
propriétés de cette configuration et plus particulièrement des propriétés qui la caractérisent, et
éventuellement utiliser un compas permettant de mieux visualiser celles-ci. \\
La dimension du côté n’est pas imposée, afin d’éviter une contrainte supplémentaire.

Après avoir tracé une succession de figures élémentaires, le groupe d’élèves doit être en
mesure de prouver qu’ils obtiennent un octogone régulier.

\subsection{Éléments de solution}
 Un octogone régulier est un polygone ayant huit sommets situés sur un cercle et ses côtés sont
de même longueur.\\
Pour tracer un tel polygone, il suffit de tracer huit segments de même longueur ayant un point
commun et faisant un angle de $45$\degre. 
La figure 1 est une bande constituée de deux segments parallèles.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{bande}
\end{center}
\begin{center}
\small{Figure 1 }   
\end{center}
La superposition de deux bandes permet de tracer un quadrilatère (Figure 2). En prenant deux côtés consécutifs, l’aire de ce quadrilatère est le produit de la longueur d’un côté par la hauteur. Or la hauteur (largeur de la bande) est la même pour chacune des deux bandes, donc les côtés consécutifs ont la même longueur. Ce quadrilatère est donc un losange, en conséquence les deux diagonales sont perpendiculaires (Figure 3).  \\

\begin{minipage}{8cm}    
\begin{center}
\shorthandoff{:}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
 \clip(-2.32,-5) rectangle (2.54,6.94);
 \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(-12-4*\x)/-2});
 \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--12-4*\x)/2});
 \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--48-4*\x)/2});
 \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--40-4*\x)/-2});
 \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--32-4*\x)/2});
 \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--24-4*\x)/-2});
 \draw (9,6)-- (9,-2);
 \draw (7,2)-- (11,2);
 \draw (-1.4,-3.7) node[anchor=north west] {\small Figure 2};
 \draw [domain=-0.7160000000000002:2.54] plot(\x,{(-10.43--10.43*\x)/5.22});
 \draw [domain=-2.32:0.7119999999999997] plot(\x,{(--6.22--6.22*\x)/-3.11});
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
    \begin{center}
          \shorthandoff{:} 
        \begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
        \clip(-2.32,-5) rectangle (2.54,6.94);
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(-12-4*\x)/-2});
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--12-4*\x)/2});
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--48-4*\x)/2});
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--40-4*\x)/-2});
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--32-4*\x)/2});
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--24-4*\x)/-2});
        \draw (9,6)-- (9,-2);
        \draw (7,2)-- (11,2);
        \draw (-1.4,-3.7) node[anchor=north west] {\small Figure 3};
        \draw [domain=-0.7160000000000002:2.54] plot(\x,{(-10.43--10.43*\x)/5.22});
        \draw [domain=-2.32:0.7119999999999997] plot(\x,{(--6.22--6.22*\x)/-3.11});
        \draw [domain=-2.32:2.54] plot(\x,{(--8-0*\x)/4});
        \draw (0,-3.02) -- (0,6.94);
        \end{tikzpicture}       
    \end{center}    
\end{minipage}
\par
\vspace{0,5cm}
A partir de ces deux droites perpendiculaires, en utilisant la règle donnée, on trace des droites parallèles à celles-ci. On obtient les sommets d’un grand carré, la longueur des côtés est égale à deux fois la largeur de la règle, comme l’indique la Figure 4. \\

\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
       \shorthandoff{:}  
     \begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
      \clip(-4.2,-6.5) rectangle (4.24,4.12);
      \draw (-3,5.6)-- (-2.98,-4.34);
      \draw (0.02,5.86)-- (0,-4.42);
      \draw (3.02,5.86)-- (3,-4.34);
      \draw (-4,-3)-- (6.38,-3.02);
      \draw (-4.14,0)-- (5.66,-0.02);
      \draw (-4,3)-- (5,3);
      \draw (-3.82,3.82)-- (3.86,-3.88);
      \draw (4.48,4.46)-- (-3.75,-3.77);
      \draw (-1.3,-4.92) node[anchor=north west] {Figure 4};
       \end{tikzpicture}     
 \end{center}   
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
  \shorthandoff{:}
  \begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
  \clip(-4.2,-6.5) rectangle (4.24,4.12);
  \draw (0.02,5.86)-- (0,-4.42);
  \draw (-4.14,0)-- (5.66,-0.02);
  \draw (-3.82,3.82)-- (3.86,-3.88);
  \draw (4.48,4.46)-- (-3.75,-3.77);
  \draw (-1.3,-4.92) node[anchor=north west] {Figure 5};
  \draw (-2.99,1.25)-- (-1.24,3);
  \draw (-1.24,3)-- (1.26,3);
  \draw (1.26,3)-- (3.01,1.25);
  \draw (3.01,1.25)-- (3.01,-1.3);
  \draw (3.01,-1.3)-- (1.29,-3.01);
  \draw (1.29,-3.01)-- (-1.28,-3.01);
  \draw (-1.28,-3.01)-- (-2.99,-1.3);
  \draw (-2.99,-1.3)-- (-2.99,1.25);
  \end{tikzpicture}      
 \end{center}   
\end{minipage} 
