\section{Les bougies}
\subsection{Le sujet}
Maman Gripsou a acheté dix bougies « chiffres ». Comme elle est économe, elle a décidé d’utiliser chaque bougie plusieurs fois. 
Ainsi, à chaque anniversaire, on souffle les bougies du gâteau le plus vite possible afin qu’elles ne raccourcissent pas trop.
Maman Gripsou a constaté que chaque bougie ne s’usait que d’un millimètre par anniversaire. Grâce à cet achat, elle a pu fêter trois fois l’anniversaire de son mari, 
trois fois celui de leur fils unique et trois fois le sien.\\

\begin{minipage}{12cm}
	La bougie « 3 », la plus usée, a perdu 7 mm.\\
	La « 1 » et la « 5 » ont diminué de 3 mm.\\
	La « 4 » et la « 6 » sont plus courtes de 2 mm et la « 7 » de 1 mm.\\
	Quant aux autres, elles sont encore neuves.\\

	Le prochain anniversaire est celui de son fils et elle n’utilisera pas \\de nouvelle bougie. \\

	\textbf{Quelle(s) bougie(s) utilisera-t-elle ? \\
	Expliquez votre démarche.}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
	\begin{center}
		\includegraphics{bougies.png}
		
	\end{center}
\end{minipage}
\subsection{Analyse a priori}
Cet exercice ne nécessite aucune connaissance mathématique particulière. \\
Il développe les notions courantes de logique et de déduction.
Les élèves devraient s'approprier rapidement cet exercice de comptage assez ludique. \\
Ils devront déterminer les anniversaires passés (dizaines, unités) à l'aide des informations données sur les bougies déjà utilisées.\\ 
Ensuite, en respectant la logique des âges entre parents et enfant, ils trouveront les deux bougies qui seront utilisées et ainsi l'âge du fils.\\
\subsection{Éléments de solution}
Listons les bougies « chiffres » et indiquons le nombre de fois où elles ont été utilisées :\\

\begin{center}
\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{0,75cm}}
\begin{tabular}{|l|*{10}{H|}} \hline
 Bougie     			& 0		&		1&		2&		3&		4&		5&		6&		7&		8&		9 \\ \hline
  Nombre d'utilisations & 0 &3	 &0  & 7 & 2  &  3  & 2  & 1  & 0  & 0    \\ \hline     
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
Chaque anniversaire a déjà été fêté 3 fois et 18 bougies ont été utilisées, donc chaque membre de la famille a un âge à 2 chiffres. \\
Le « 9 » n’ayant pas été utilisé, aucun d’eux n’a changé de décennie et n’en changera.\\
Le « 3 » ayant été utilisé 7 fois, les parents ont la trentaine.\\
Le « 1 » ayant été utilisé 3 fois, le fils a nécessairement un âge commençant par 1 (sinon les parents auraient eu 31 ans, 
ce qui n’est pas possible puisque ni le « 0 » ni le « 2 » n’ont été utilisés).\\

Avec les bougies restantes à répartir, il nous reste deux possibilités :\\

\begin{minipage}{9cm}
	\begin{center}
	1\ier{} cas:\\
\bigskip	
	\renewcommand*\arraystretch{2.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\cline{2-4}
	\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{2}{|c|}{Parents}&Fils\\\hline
\multirow{3}*{\rotatebox{90}{Anniversaires fêtés}}	 &34 ans &35 ans&13 ans\\\cline{2-4} 
 & 35 ans&36 ans&14 ans \\\cline{2-4}	
 & 36 ans&37 ans&15 ans \\\hline
\end{tabular}	
\end{center}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	2\ieme{} cas :\\
\bigskip	
		\renewcommand*\arraystretch{2.5}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
		\cline{2-4}
		\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{2}{|c|}{Parents}&Fils\\\hline
	\multirow{3}*{\rotatebox{90}{Anniversaires fêtés}}	 &34 ans &33 ans&15 ans\\\cline{2-4} 
	 & 35 ans&34 ans&16 ans \\\cline{2-4}	
	 & 36 ans&35 ans&17 ans \\\hline
	\end{tabular}	
\end{center}	
\end{minipage}



\bigskip
Il faut éliminer le 2\ieme{} cas : le fils n’aura pas 18 ans puisqu'on n'utilisera que des bougies déjà utilisées 
et de plus il n'y a qu'une seule bougie « 3 ».\\


\textbf{Le fils aura donc 16 ans et Maman Gripsou utilisera le « 1 » et le « 6 ».} \\



