\section{Tout en rond}
\subsection{Le sujet}
Le contour d’une figure est composé de trois demi-cercles.\\
Le premier de diamètre [AB], le deuxième de diamètre [AM], le troisième de diamètre
[MB], \\où M est un point du segment [AB], comme l’indique la figure ci-dessous. \\

\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-5.6,-4.26) rectangle (3.88,4.22);
	\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (-5,0)-- (3,0);
	\draw [shift={(-1,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*4*cos(\t r)+0*4*sin(\t r)},{0*4*cos(\t r)+1*4*sin(\t r)});
	\draw [shift={(-2,0)}] plot[domain=3.14:6.28,variable=\t]({1*3*cos(\t r)+0*3*sin(\t r)},{0*3*cos(\t r)+1*3*sin(\t r)});
	\draw [shift={(2,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*1*cos(\t r)+0*1*sin(\t r)},{0*1*cos(\t r)+1*1*sin(\t r)});
	\draw (-2.62,-3.52) node[anchor=north west] {Figure de Julie};
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=black] (-5,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-5.28,0.14) node {A};
	\fill [color=black] (3,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.28,0.14) node {B};
	\fill [color=black] (1,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (1.26,-0.25) node {M};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-5.6,-4.26) rectangle (3.58,4.22);
	\draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-5,0)-- (3,0);
	\draw [shift={(-1,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*4*cos(\t r)+0*4*sin(\t r)},{0*4*cos(\t r)+1*4*sin(\t r)});
	\draw [shift={(-3.28,0)}] plot[domain=3.14:6.28,variable=\t]({1*1.72*cos(\t r)+0*1.72*sin(\t r)},{0*1.72*cos(\t r)+1*1.72*sin(\t r)});
	\draw [shift={(0.72,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*2.28*cos(\t r)+0*2.28*sin(\t r)},{0*2.28*cos(\t r)+1*2.28*sin(\t r)});
	\draw (-3,-3.52) node[anchor=north west] {Figure de Guillaume};
	\begin{scriptsize}
	\fill [color=black] (-5,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-5.28,0.14) node {A};
	\fill [color=black] (3,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.28,0.14) node {B};
	\fill [color=black] (-1.56,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-1.3,-0.25) node {M};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}	
\end{minipage}
\bigskip

La figure de gauche a été réalisée par Julie et celle de droite a été réalisée par Guillaume. Dans les deux cas, le segment [AB] a la même longueur.\\
Où Guillaume peut-il placer le point M pour que sa figure ait une aire trois fois plus petite que celle de Julie ? \\
Julie prétend que le périmètre de sa figure est plus long que celui de la figure de son ami. \\

\textbf{Julie a-t-elle raison ?}

\subsection{Analyse a priori}
La configuration proposée est composée de figures géométriques simples, pour laquelle le
calcul d’aires et de périmètres est disponible dès la classe de sixième.\\
L’élève est amené à choisir une inconnue, la distance entre A et M parait naturelle.
Dans ce cas, le calcul de l’aire met en évidence une fonction linéaire.\\
Une autre configuration analogue aurait pu être proposée, par exemple à partir de carrés.

\subsection{Éléments de solution}
\underline{\textbf{Question 1 : }}\\

L'aire d’un disque étant égale à $\pi \times rayon^2$, les calculs seront plus simples en utilisant les rayons plutôt que les diamètres.\\
Soit R le rayon du grand demi-cercle ($R=\dfrac{AB}{2}$ ) et $x$ le rayon du demi-cercle de diamètre [AM] pour la figure de Julie.\\

Comme $MB=AB-AM$, on a $MB=2R-2x $ et par conséquent, le rayon du cercle de diamètre [MB] est égal à $\dfrac{(2R-2x)}{2}$ soit $R-x$.\\

Nous pouvons écrire l'aire de la figure de Julie en fonction de R et de $x$ : \\

$\dfrac{\pi\times R^2}{2}+\dfrac{\pi\times x^2}{2} -\dfrac{\pi\times (R-x)^2}{2} $\\

soit après avoir développé et mis au même dénominateur :\\

$\dfrac{\pi \times R^2 +\pi \times x^2-\pi \times (R^2 - 2Rx + x^2)}{2}= \dfrac{\pi R^2+\pi x^2-\pi R^2+ 2\pi Rx -\pi x^2}{2} = \dfrac{ 2\pi Rx}{2}= \pi Rx$\\

La figure de Julie a comme aire $\pi Rx$.\\

Soit $y$ le rayon du demi-cercle de diamètre [AM] pour la figure de Guillaume.\\
La figure de Guillaume a comme aire $\pi Ry$.\\

Si l’on veut que l’aire de la figure de Guillaume soit trois fois plus petite que celle de Julie, il faut que 
$\pi Rx = 3\pi Ry$ et donc que $x=3y$.\\

\textbf{Guillaume devra placer son point M trois fois plus près de A que Julie.}\\

\vspace{1,5cm}
\newpage
Exemples de figures :\\

\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-6,-5) rectangle (5,4.22);
	\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (-5,0)-- (3,0);
	\draw [shift={(-1,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*4*cos(\t r)+0*4*sin(\t r)},{0*4*cos(\t r)+1*4*sin(\t r)});
	\draw [shift={(-2,0)}] plot[domain=3.14:6.28,variable=\t]({1*3*cos(\t r)+0*3*sin(\t r)},{0*3*cos(\t r)+1*3*sin(\t r)});
	\draw [shift={(2,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*1*cos(\t r)+0*1*sin(\t r)},{0*1*cos(\t r)+1*1*sin(\t r)});
	\draw (-4,-3.52) node[anchor=north west] {Figure de Julie};
	\begin{scriptsize}
	     \draw (-2.8,1) node[anchor=north west] {3 cm};
	\fill [color=black] (-5,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-5.5,0.14) node {A};
	\fill [color=black] (3,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.8,0.14) node {B};
	\fill [color=black] (1,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (1.46,-0.5) node {M};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
        \clip(-6,-5) rectangle (5,4.22);
        \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-5,0)-- (3,0);
        \draw [shift={(-1,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*4*cos(\t r)+0*4*sin(\t r)},{0*4*cos(\t r)+1*4*sin(\t r)});
        \draw [shift={(-4,0)}] plot[domain=3.14:6.28,variable=\t]({1*1*cos(\t r)+0*1*sin(\t r)},{0*1*cos(\t r)+1*1*sin(\t r)});
        \draw [shift={(0,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*3*cos(\t r)+0*3*sin(\t r)},{0*3*cos(\t r)+1*3*sin(\t r)});
        \draw (-5,-3.5) node[anchor=north west] {Figure de Guillaume};
       
        \begin{scriptsize}
             \draw (-4.8,1) node[anchor=north west] {1 cm};
        \fill [color=black] (-5,0) circle (0.5pt);
        \draw[color=black] (-5.5,0.24) node {$A$};
        \fill [color=black] (3,0) circle (0.5pt);
        \draw[color=black] (3.8,0.14) node {$B$};
        \fill [color=black] (-3,0) circle (0.5pt);
        \draw[color=black] (-2.44,-0.5) node {$M$};
        \end{scriptsize}
        \end{tikzpicture}
\end{center}	
\end{minipage}

\vspace{1cm}
Il est possible aussi de donner une solution sans mesurer AM : il suffit de partager le diamètre [AB] en quatre segments de même longueur :\\

\bigskip
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-6,-5) rectangle (5,4.22);
%	\draw [dash pattern=on 2pt off 2pt] (-5,0)-- (3,0);
	\draw [shift={(-1,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*4*cos(\t r)+0*4*sin(\t r)},{0*4*cos(\t r)+1*4*sin(\t r)});
	\draw [shift={(-2,0)}] plot[domain=3.14:6.28,variable=\t]({1*3*cos(\t r)+0*3*sin(\t r)},{0*3*cos(\t r)+1*3*sin(\t r)});
	\draw [shift={(2,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*1*cos(\t r)+0*1*sin(\t r)},{0*1*cos(\t r)+1*1*sin(\t r)});
	\draw (-4,-3.52) node[anchor=north west] {Figure de Julie};
	 \draw (-5,0)-- (-3,0);
    \draw (-4.05,0.11) -- (-4.05,-0.11);
     \draw (-3.96,0.11) -- (-3.96,-0.11);
     \draw (-3,0)-- (-1,0);
     \draw (-2.05,0.11) -- (-2.05,-0.11);
     \draw (-1.96,0.11) -- (-1.96,-0.11);
     \draw (-1,0)-- (1,0);
    \draw (-0.05,0.11) -- (-0.05,-0.11);
    \draw (0.05,0.11) -- (0.05,-0.11);
    \draw (1,0)-- (3,0);
    \draw (1.96,0.11) -- (1.96,-0.11);
    \draw (2.05,0.11) -- (2.05,-0.11);
    \draw [color=black] (-3,0)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
    \draw [color=black] (-1,0)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
    \draw [color=black] (1,0)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
	\begin{scriptsize}
	    
	\fill [color=black] (-5,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (-5.5,0.14) node {A};
	\fill [color=black] (3,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (3.8,0.14) node {B};
	\fill [color=black] (1,0) circle (0.5pt);
	\draw[color=black] (1.46,-0.5) node {M};
	\end{scriptsize}
	\end{tikzpicture}	
\end{center}	
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
        \clip(-6,-5) rectangle (5,4.22);
       % \draw [dash pattern=on 3pt off 3pt] (-5,0)-- (3,0);
        \draw [shift={(-1,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*4*cos(\t r)+0*4*sin(\t r)},{0*4*cos(\t r)+1*4*sin(\t r)});
        \draw [shift={(-4,0)}] plot[domain=3.14:6.28,variable=\t]({1*1*cos(\t r)+0*1*sin(\t r)},{0*1*cos(\t r)+1*1*sin(\t r)});
        \draw [shift={(0,0)}] plot[domain=0:3.14,variable=\t]({1*3*cos(\t r)+0*3*sin(\t r)},{0*3*cos(\t r)+1*3*sin(\t r)});
        \draw (-5,-3.5) node[anchor=north west] {Figure de Guillaume};
       	\draw  (-5,0)-- (-3,0);
        \draw  (-4.05,0.11) -- (-4.05,-0.11);
        \draw  (-3.96,0.11) -- (-3.96,-0.11);
        \draw  (-3,0)-- (-1,0);
        \draw  (-2.05,0.11) -- (-2.05,-0.11);
        \draw  (-1.96,0.11) -- (-1.96,-0.11);
        \draw  (-1,0)-- (1,0);
        \draw (-0.05,0.11) -- (-0.05,-0.11);
        \draw  (0.05,0.11) -- (0.05,-0.11);
        \draw  (1,0)-- (3,0);
        \draw (1.96,0.11) -- (1.96,-0.11);
        \draw  (2.05,0.11) -- (2.05,-0.11);
        \draw [color=black] (-3,0)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
        \draw [color=black] (-1,0)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
        \draw [color=black] (1,0)-- ++(-1.5pt,-1.5pt) -- ++(3.0pt,3.0pt) ++(-3.0pt,0) -- ++(3.0pt,-3.0pt);
        \begin{scriptsize}
             
        \fill [color=black] (-5,0) circle (0.5pt);
        \draw[color=black] (-5.5,0.24) node {$A$};
        \fill [color=black] (3,0) circle (0.5pt);
        \draw[color=black] (3.8,0.14) node {$B$};
        \fill [color=black] (-3,0) circle (0.5pt);
        \draw[color=black] (-2.44,-0.5) node {$M$};
        \end{scriptsize}
        \end{tikzpicture}
\end{center}	
\end{minipage}
\vspace{0,5cm}
\underline{\textbf{Question 2 : }}\\

Périmètre de la figure de Julie :\\
$\dfrac{2\pi \times R}{2}+ \dfrac{2\pi \times x}{2} + \dfrac{2\pi \times (R - x)}{2} = \pi R + \pi x +\pi R - \pi x = 2\pi R$ \\

Ce périmètre ne dépend pas de $x$, il sera le même pour Guillaume et pour toute position de M.\\

\textbf{Julie a tort, les périmètres sont égaux.}



