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%D\'{e}finition de la mise en page
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATH\'{E}MATIQUE DE FRANCHE-COMT\'{E}}

\smallskip
\textbf{Qualifications du mardi 29 janvier 2008}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

\medskip
Les classes de Troisi\`{e}me doivent r\'{e}soudre les exercices 1 \`{a} 6.

Les classes de Seconde doivent r\'{e}soudre les exercices 4 \`{a} 9.

La classe doit rendre une seule r\'{e}ponse par exercice trait\'{e} \textbf{en explicitant la d\'{e}marche}.


\medskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

%\hspace{-2cm}
\subsection{Carrément}
\parbox{6 cm}{\begin{center}
Un carré peut être découpé en neuf autres carrés :
\end{center}
}
\parbox{3 cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1.7]{carrement1.jpg}
\end{center}
}
\parbox{6 cm}{\begin{center}
Il peut aussi être découpé, avec un peu de réflexion, en dix carrés :
\end{center}
}
\parbox{3 cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=1.7]{carrement2.jpg}
\end{center}
}
\begin{center}
\textbf{\mbox{Pouvez-vous faire un découpage d'un carré en $6$ carrés ? En $7$ ? En $8$ ? En $11$ ? En $12$ ? En $13$ ?}\\ Est-il possible (avec beaucoup de patience) d'obtenir $67$ ou $68$ carrés ?\\ Expliquez votre raisonnement.}
\end{center}

%\vskip1 cm
\subsection{Puissance 2008}
Elsa et Jean aiment les jeux mathématiques et se posent mutuellement des petits problèmes :\\
\mbox{Elsa dit à Jean : \og Choisis un nombre entier, je te dirai quel est le dernier chiffre de sa puissance  $2008$.\fg }\\
Jean propose $13$.\\
Elsa lui affirme que ce nombre se termine par 1.\\
\og Et si c'était $14$ ? \fg demande Jean.\\
\og Dans ce cas, la réponse serait $6$. \fg lui affirme Elsa.\\
Jean prend un papier et un crayon, cherche \dots \, et trouve !\\
Elsa et Jean sont capables de trouver le dernier chiffre de la puissance $2008$ de n'importe quel nombre entier.
\begin{center}
\textbf{Expliquez leur raisonnement et trouvez le dernier chiffre de $\ds 2008^{2008}$ .}
\end{center}

\subsection{Baignade}
David et Corentin sont deux amis qui apprécient la baignade en rivière.\\
Quand David se baigne seul, il va au plus près de chez lui, c'est à $600$ mètres.\\
Corentin, lui, doit parcourir $1,\!400$ kilomètre.\\
Mais le plus souvent, les deux amis se retrouvent sur une petite plage située à égale distance de leurs deux maisons.
La maison de David et celle de Corentin sont distantes de $1,\!700$ kilomètre.\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{baignade.jpg}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Construisez une figure à l'échelle $1/20\:000$ où apparaît le lieu de baignade commune des deux amis.
Calculez la distance qui sépare la plage de David et la plage commune.}
\end{center}




\newpage

\subsection{Des cubes et des solides}
On dispose de quatre cubes blancs de mêmes dimensions dont les faces sont identiques.

\medskip

\textbf{Combien de solides différents de l'espace obtient-on en
accolant tous les cubes deux à deux par une face?}

\medskip

\textbf{Donnez, sur une feuille quadrillée, une représentation de
chacun de ces solides.}


\vskip1 cm
\subsection{Rallye mathématique}
Le rallye mathématique est organisé chaque année dans les collèges du département.\\
Chaque année est éditée une revue composée de la manière suivante :\\
La page $1$ contient le titre. La présentation du rallye est en page $2$.\\
A partir de la page $3$, chaque page est consacrée à une classe participante avec une photo de la classe, un mot de leur professeur de maths et leur classement au rallye. Ainsi la page $3$ est consacrée à la $6^{\hbox{\scriptsize{\`e}}}$ classée première, la page $4$ à la $6^{\hbox{\scriptsize{\`e}}}$ classée deuxième, \dots \, , et ainsi de suite jusqu'à la classe de $3^{\hbox{\scriptsize{\`e}}}$ la moins bien classée.\\
Enfin, les six dernières pages sont écrites par les professeurs organisateurs du rallye.\\
Un jour, Bertrand trouve une feuille qui s'est détachée de la revue de l'année précédente. Il s'agit d'une feuille A$3$ pliée en deux. Cette feuille (ou plutôt ses informations essentielles) est décrite ci-dessous.\\
\vskip1 cm
\begin{tabular}{cc}
\begin {minipage}{8 cm}\begin{center}
Recto\\[2 mm]
\includegraphics[scale=2.5]{rallye1.jpg}
\end{center}
\end {minipage}&
\begin {minipage}{8 cm}\begin{center}
Verso\\[2 mm]
\includegraphics[scale=2.5]{rallye2.jpg}\\
\vspace {1,8cm}
\end{center}
\end {minipage}
\end{tabular}
\begin{center}
\textbf{Aidez Bertrand à retrouver le nombre de pages de la revue, le nombre de classes participantes, le nombre de classes de chaque niveau ayant participé au rallye.}
\end{center}




\vskip1 cm
\subsection{Mystère autour d'une boîte}
Une boîte de jeux de société a la forme d'un parallélépipède rectangle. Les arêtes mesurent un nombre entier de centimètres. Les faces ont pour aires $96$ cm$^{2}$, $160$ cm$^{2}$ et 240 cm$^{2}$.
\begin{center}
\textbf{Déterminez le volume de cette boîte.}
\end{center}


\newpage
\subsection{Lampadaires}
Le jardin public de Triville a la forme d'un triangle ABC isocèle en B tel que :\\
AB = BC =  $60$ m   et AC = $90$ m.\\
Pour éclairer ce jardin de manière homogène, Monsieur le maire propose d'installer quatre lampadaires : un en A, un en C, un en M (situé sur le segment [AB] ) et le quatrième en N sur  le segment [BC].\\
Le conseiller technique de la mairie cherche à déterminer les
emplacements des lampadaires de sorte que les longueurs AM, MN et NC
soient égales.

\begin{center}
\textbf{Construisez le plan du jardin public à l'échelle $1/500$ sur lequel vous noterez les emplacements des lampadaires.}
\end{center}

\vskip1 cm
\subsection{Cadenas}
\begin {minipage}{12 cm}
Le lycée met à disposition de Margot un casier pour qu'elle puisse y ranger ses affaires. Ses parents lui ont donné un cadenas semblable à celui dessiné ci-contre.\\ La combinaison du cadenas est formée de quatre chiffres tous compris entre $0$ et $7$.\\
Pour se souvenir de la combinaison, Margot (qui se passionne pour l'arithmétique) se rappelle que :
\begin{itemize}
    \item les quatre chiffres de la combinaison sont tous différents les  uns des autres.
    \item les deux premiers chiffres sont des nombres premiers dont la somme est aussi un nombre premier.
    \item la somme des trois premiers chiffres est un nombre premier.
    \item la somme des trois derniers chiffres est aussi un nombre premier.
\end{itemize}
\end {minipage}
\begin {minipage}{6 cm}
\begin {center}
\includegraphics [scale=3]{cadenas2.jpg}
\end {center}
\end {minipage}

\begin{center}
\textbf{Citez toutes les combinaisons que Margot peut essayer pour être sûre d'ouvrir le cadenas.}
\end{center}


\vskip1 cm
\subsection{Famille 2008}
\begin {minipage}{10 cm}
Papy et Mamy Depin ont toujours bon pied, bon \oe il. Quand ils se sont rencontrés, ils avaient tous deux $18$ ans.\\
Plus tard, ils se sont mariés et ont eu trois enfants : Andy, Betty et Charly sont nés dans cet ordre à exactement deux ans d'intervalle. L'aîné Andy a aujourd'hui plus de $40$ ans, il est marié avec Kathy et est l'heureux papa de la petite Mary.\\
Papy leur montre l'arbre généalogique de la famille Depin.\\ Mary est en train de jouer avec la calculatrice de Papy : machinalement, elle ajoute les âges de ses grands-parents avec ceux de leurs trois enfants, puis multiplie le résultat obtenu par son âge.\\
A sa grande surprise, la calculatrice affiche $2008$.
\end {minipage}
\begin {minipage}{10 cm}
\begin{center}
\textsl{Extrait de l'arbre généalogique}\\
\vskip0,8cm
\includegraphics [scale=2.2]{arbre.jpg}
\end{center}
\end {minipage}
\begin{center}
\textbf{Déterminez les âges possibles de Papy et de Mamy sachant que tous les âges sont des nombres entiers.}
\end{center}



\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no }
\end{center}



\end{document}
