\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%D\'{e}finition de la mise en page
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\setlength{\parindent}{0 cm}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection} --}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}

%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATH\'{E}MATIQUE DE FRANCHE-COMT\'{E}}

\smallskip
\textbf{Qualifications du lundi 12 février 2007}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

\bigskip
Les classes de Troisi\`{e}me doivent r\'{e}soudre les exercices 1 \`{a} 6.

Les classes de Seconde doivent r\'{e}soudre les exercices 4 \`{a} 9.

La classe doit rendre une seule r\'{e}ponse par exercice trait\'{e} \textbf{en explicitant la d\'{e}marche}.


\bigskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

\subsection{Table hexagonale}

\medskip
Le collège de Lode dispose de cinquante tables dont le plateau est un trapèze isocèle, les côtés mesurant respectivement
$50, 50, 50$ et $100$ centim\`etres.\\
Les élèves de troisième X désirent les juxtaposer pour réaliser une grande table ayant la forme d'un hexagone
r\'egulier plein.
\begin{center}
\textbf{Représenter à l'échelle $1/50 ^{\hbox{\scriptsize{\`eme}}}$ la plus grande table qu'ils peuvent réaliser.}
\end{center}


\subsection{Scions}
Susana peint un grand cube en bois sur toutes ses faces puis  effectue $45$ coupes à l'aide d'une scie de manière à
diviser
entièrement le grand cube en petits cubes ayant tous la même dimension.Elle ne déplace aucun morceau avant d'avoir
terminé la découpe.\\
Elle obtient un grand nombre de petits cubes dont certains sont colorés (au moins une face peinte) et d'autres non.
\begin{center}
\textbf{Combien y a-t-il de petits cubes colorés ?}
\end{center}

\subsection{Black jack}
Un jeu est constitué de $90$ cartes numérotées de $10$ à $99$.\\
La police utilisée pour les chiffres est la suivante : 
\begin{center}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Z\'ero\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.1}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Un\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.2}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Deux\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.3}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Trois\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.4}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Quatre\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.5}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Cinq\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.6}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Six\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.7}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Sept\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.8}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Huit\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.9}
\end{center}
}
\parbox{1.2 cm}{\begin{center}
Neuf\\[0.3 cm]
\includegraphics{blakjackfig.10}
\end{center}
}
\end{center}

\medskip
Chaque joueur pioche des cartes une par une, cumule les points obtenus et s'arrête quand il le veut.\\
Le vainqueur est celui qui est le plus proche de $210$.\\
Certaines cartes sont particulièrement recherchées car elles permettent la lecture de deux nombres différents par rotation
d'angle $180$°. On les appelle cartes doubles.\\
Par exemple :
\parbox{6cm}{
\begin{center}
\includegraphics{blakjackfig.12}
\end{center}
}
\hspace{2 cm}
\parbox{6cm}{
\begin{center}
\includegraphics{blakjackfig.11}
\end{center}
}

\hspace*{3 cm}
\parbox{5cm}{\small{Cette carte est double, elle peut représenter $81$ points ou $18$ points.}}
\hspace{3 cm}
\parbox{5cm}{\small{Cette carte n'est pas double, elle représente $80$ points (il n'y a pas de carte $08$ dans le
jeu).}}

%\hspace{2 cm}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Combien y a-t-il de cartes doubles ?}
\end{center}




\newpage
\subsection{Cube et triangles équilatéraux}

\parbox{7 cm}{\begin{center}
Patron r\'eduit d'un cube

\vspace{0.5 cm}
\includegraphics[scale=0.7]{cube_triangle_fig.1}
\end{center}
}
\hspace{2 cm}
\parbox{7 cm}{\begin{center}
Repr\'esentation en perspective cavali\`ere de ce cube

\vspace{0.5 cm}
\includegraphics{cube_triangle_fig.2}
\end{center}
}
\begin{center}
\textbf{Construire (au compas, \`a l'\'equerre et \`a la r\`egle non gradu\'ees) les triangles équilatéraux sur les
trois faces visibles du cube représenté en perspective cavalière. Laisser les traits de construction.}
\end{center}

\subsection{Le défi de Mylène}
Mylène aime les défis.
Aujourd'hui, elle a décidé de compter tous les résultats possibles qu'on peut obtenir en utilisant quatre fois un nombre $n$ supérieur à $5$, trois opérations différentes  choisies parmi les quatre opérations ( addition, soustraction, multiplication, division) et au maximum une paire de parenthèses.

\medskip
\textit{Exemples} : $\ds n\times n + n - n = n^2$ et $\ds n\times(n + n) - n = 2n^2 - n$ ; $n^2$ et $2n^2-n$ sont des
r\'esulatas possibles.

\medskip
Mylène a déjà trouvé quinze résultats différents, mais son professeur de mathématiques lui dit qu'elle en a oublié beaucoup.
\begin{center}
\textbf{Aider Mylène en dressant la liste de tous les résultats différents possibles.\\ \'Ecrire un calcul menant \`a
chacun de ces r\'esultats.}
\end{center}

\subsection{Plantation}
\medskip
Dans son verger, Monsieur Sapin désire planter un pommier aligné avec le prunier et le pêcher déjà existants. Mais un
rocher l'empêche de réaliser une visée directe. Il dispose d'une grande ficelle sur laquelle il peut faire des marques
avec sa bombe rouge, et de piquets pour marquer les emplacements.


\vspace{0.5 cm}
\begin{center}
\includegraphics{plantationfig.2}
\end{center}


\vspace{0.8 cm}
\textbf{Donner les différentes étapes lui permettant de réaliser sa plantation pour que :
\begin{itemize}
\item les trois arbres soient align\'es ; 
\item le pommier soit \`a 10 m\`etres du p\^echer, prunier et p\^echer \'etant distants de 4 m\`etres.
\end{itemize}
}




\newpage
\subsection{Course contre la montre}
Une mouche M s'est prise dans une toile d'araignée et se débat. L'araignée A l'a vue et se dirige à la vitesse de $2,79$
km$/$h vers sa proie qui se débat de plus en plus. La toile cèdera dans $18$ secondes.\\
\vskip-0,5cm
\parbox{10 cm}{\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{course_montre_fig.1}
\end{center}
}
\parbox{7 cm}{
\small{A ne peut se déplacer que sur les murs, le plafond ou le sol. Au départ, elle se trouve sur la face avant à un mètre du sol et au milieu du mur.}\\
\small{M se trouve sur la face arrière à un mètre du plafond et également au milieu du mur.}
}
\begin{center}
\textbf{La mouche va-t-elle s'en sortir ?}
\end{center}

\subsection{Livraison}
Monsieur Lecoq, boucher charcutier à Amathos (not\'e A) , est sollicité pour livrer quatre camps dispersés dans la
montagne (not\'es C$_1$, C$_2$, C$_3$ et C$_4$). Monsieur Marc Assin, responsable des camps, donne les informations
suivantes :

\vskip0,5 cm
\begin{small}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \vphantom{$\ds \int$}Trajets&A$\leftrightarrow$C$_4$&C$_1$$\leftrightarrow$C$_2$&C$_3$$\leftrightarrow$C$_4$&C$_1$$\leftrightarrow$
C$_4$&A$\leftrightarrow$C$_1$&A$\leftrightarrow$C$_2$&C$_1$$\leftrightarrow$C$_3$&C$_2$$\leftrightarrow$C$_3$\\[2mm]
\hline \vphantom{$\ds \int$}Distance (en km)&$4$&$5$&$10$&$15$&$6$&$8$&$7$&$12$\\[2mm]
\hline \vphantom{$\ds \int$}Vitesse moyenne (en km$/$h)&$40$&$15$&$60$&$50$&$50$&$40$&$50$&$30$\\[2mm]
\hline
\end {tabular}
\end {small}
\begin{minipage}{8 cm}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline \vphantom{$\ds \int$}Camps&C$_1$&C$_2$&C$_3$&C$_4$\\[2mm]
\hline \vphantom{$\ds \int$}\small{Temps de livraison (en min}&$15$&$20$&$30$&$10$\\[2mm]
\hline
\end {tabular}\end{minipage}
\hspace{2 cm}
\begin{minipage}{7 cm}
\includegraphics[scale=0.35]{graphe.jpg}\end{minipage}

\vskip0,2 cm
\textbf{Sachant que Monsieur Lecoq part d'Amathos à sept heures, qu'il désire de plus ne pas passer deux fois sur la même route, à quelle heure sera-t-il au plus tôt de retour ?}

\subsection{Classe de seconde}
Dans cette classe de Seconde, il y a des garçons et des filles.\\
Certains garçons jouent au rugby. Les filles ne jouent pas au rugby.\\
Certaines filles font de la natation. Il y a $4$ garçons rugbymen qui font de la natation.\\[0.1 cm]
Parmi tous les groupes possibles que l'on peut former avec ces \'el\`eves : 
\begin{itemize}
\item pour être certain d'avoir deux garçons, il faudrait au minimum 15 personnes dans le groupe ;
\item pour être certain d'avoir trois filles, il faudrait au minimum 19 personnes dans le groupe ;
\item pour être certain d'avoir deux rugbymen, il faudrait au minimum 24 personnes dans le groupe ;
\item pour être certain d'avoir un nageur ou une nageuse, il faudrait au minimum 23 personnes dans le groupe.
\end{itemize}

\medskip
\textbf{Combien y a-t-il d'élèves dans la classe ?}\\
\textbf{Combien y a-t-il de rugbymen dans la classe ?}\\
\textbf{Combien y a-t-il d'élèves ne pratiquant ni le rugby, ni la natation ?}\\

\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 4}
\end{center}

\vspace{4 cm}
\begin{center}
\includegraphics{cube_triangle_fig.2}
\end{center}






\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 6}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics{plantationfig.1}
\end{center}


\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no }
\end{center}


\end{document}
