\section{Jeu}
\subsection{Le sujet}
\begin{minipage}{10cm}
	Victor et Hugo jouent au jeu suivant. \\
	Ils ont noté sur des morceaux de papier identiques tous les segments d’extrémités deux sommets du cube ABCDEFGH.
	 (par exemple, [AB], [BD], [AG] \dots)\\
	Tous ces morceaux de papier sont mis dans un sac non transparent.\\
	Victor choisit un papier, note le segment indiqué, remet le papier dans le sac, puis Hugo fait de même.\\
	
	Si les deux segments ont un unique point d’intersection, Victor gagne. \\
	Si ce n’est pas le cas, Hugo gagne.\\
	
	\textbf{Le jeu est-il équitable ?}
	
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\clip(-0.84,-0.66) rectangle (6.64,5.86);
		\draw (0,4)-- (4,4);
		\draw (4,4)-- (4,0);
		\draw (4,0)-- (0,0);
		\draw (0,0)-- (0,4);
		\draw [->] (7,7) -- (8.64,8.1);
		\draw (0,4)-- (1.64,5.1);
		\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt] (0,0)-- (1.64,1.1);
		\draw (1.64,5.1)-- (5.64,5.1);
		\draw (4,4)-- (5.64,5.1);
		\draw (4,0)-- (5.64,1.1);
		\draw (5.64,5.1)-- (5.64,1.1);
		\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt] (1.64,1.1)-- (5.64,1.1);
		\draw [dash pattern=on 5pt off 5pt] (1.64,5.1)-- (1.64,1.1);
		\begin{scriptsize}
		\fill [color=black] (0,0) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.3,-0.14) node {A};
		\fill [color=black] (4,0) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.4,-0.04) node {B};
		\fill [color=black] (0,4) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (-0.36,3.94) node {E};
		\fill [color=black] (4,4) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (4.42,3.94) node {F};
		\fill [color=black] (7,7) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (1.3,1.3) node {D};
		\fill [color=black] (5.64,1.1) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (5.98,1.28) node {C};
		\fill [color=black] (5.64,5.1) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (5.8,5.4) node {G};
		\fill [color=black] (1.64,5.1) circle (0.5pt);
		\draw[color=black] (1.52,5.42) node {H};
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}		
	\end{center}
\end{minipage}
\subsection{Analyse a priori}
Cet exercice mobilise les connaissances en géométrie de l'espace et bien évidemment en calcul de probabilités.\\
Une bonne connaissance de l’objet de l’espace s’impose. Cela permettra à l’élève de dénombrer tous les segments en jeu et de les classer dans trois catégories : arêtes, diagonales de face et grandes diagonales.\\

Ce classement sera à l'origine de la disjonction de cas. Pour le dénombrement des cas favorables (à l'un ou l'autre des joueurs), un élève doit d'après la vue en perspective bien distinguer les segments non coplanaires et remarquer que les tirages de deux segments identiques (tirages avec remise) fournissent un cas défavorable à Victor.

\subsection{Éléments de solution}
Le cube contient 28 segments : 12 arêtes, 12 diagonales de face et 4 grandes diagonales.\\

Victor a 28 choix, Hugo également car il y a remise entre les deux tirages.\\
Il y a alors $28 \times 28$, soit 784 résultats possibles pour l'expérience aléatoire.\\
Ces résultats sont équiprobables puisque les tirages se font au hasard.\\

Nous allons recenser les cas favorables à Victor.\\

\textbf{Cas 1 : Victor  a choisi une arête telle [AB].} \\

Il y a 12 choix de Hugo favorables à Victor dont :
\begin{itemize}
    \item 2 arêtes issues de A et 2 arêtes issues de B.
    \item 3 diagonales de face issues de A et 3 diagonales de face issues de B.
    \item 1 grande diagonale issue de A et 1 grande diagonale issue de C.
\end{itemize}
\medskip
Donc, si Victor choisit une arête, il y a $12 \times 12$, soit 144 résultats favorables à Victor.\\

\newpage
\textbf{Cas 2 : Victor  a choisi une diagonale de face telle [AC].} \\

Il y a 13 choix de Hugo favorables à Victor dont :
\begin{itemize}
    \item 3 arêtes issues de A et 3 arêtes issues de C.
    \item 2 diagonales de face issues de A, 2 diagonales de face issues de C et la diagonale [BD], sécante avec [AC].
    \item 1 grande diagonale issue de A et 1 grande diagonale issue de B.
\end{itemize}
\medskip
Donc, si Victor choisit une diagonale de face, il y a $12 \times 13$, soit 156 résultats favorables à Victor.\\

\medskip
\textbf{Cas 3 : Victor  a choisi une grande diagonale telle [AG].}\\

 Il y a 15 choix de Hugo favorables à Victor dont :
\begin{itemize}
    \item 3 arêtes issues de A et 3 arêtes issues de G.
    \item 3 diagonales de face issues de A et 3 diagonales de face issues de G.
    \item 3 grandes diagonales car les 4 grandes diagonales sont sécantes au centre du cube.
\end{itemize}
\medskip
Donc, si Victor choisit une grande diagonale, il y a $4 \times 15$, soit 60 résultats favorables à Victor.\\
\vspace{1cm}

Ainsi, le nombre de cas favorables à Victor s'élève à $144 + 156 + 60 = 360$.\\

Le nombre de cas favorable à Hugo est donc de 784 - 360, soit 424.\\

La probabilité de victoire de Victor est de $\dfrac{360}{784}$, soit environ 0,46.\\

\textbf{Conclusion : Le jeu n'est pas équitable; il est légèrement défavorable à Victor.
}



