\section{La carte de crédit}
\subsection{Le sujet}
Mamy a offert une journée à Londres à ses trois petites-filles Emilie, Julie et Mélanie. Elle  leur a fourni les trois billets de train.\\
Elle a également confié sa carte de crédit à l’aînée Emilie. Pour éviter les disputes et partager les responsabilités, c’est à Julie et Mélanie 
qu’elle a confié le code à 4 chiffres de la carte de crédit.\\

Mamy a donné les indications suivantes à Julie et Mélanie :
\begin{itemize}
	\item Julie sait que si on divise le nombre à 4 chiffres par 11 ou 13, on obtient,
	 dans les deux cas, un reste de 2.
	\item Mélanie sait que si on divise le nombre à 4 chiffres par 9 ou 17, on obtient,
	 dans les deux cas, un reste de  1.
\end{itemize}
\medskip


\textbf{Aidez Julie et Mélanie à déterminer le code. Expliquez votre démarche. }

\subsection{Analyse a priori}
Un élève de troisième ou seconde doit avoir bien assimilé la notion de division euclidienne. 
Il doit traduire la phrase « la division de $N$, le nombre cherché, par 11 a pour reste 2 » par $N = 11k + 2$.\\
Si cette étape est franchie, les tâches de calcul seront réalisées par le tableur 
(le mode tableau de la calculatrice ne donnera pas une vue suffisamment large). \\
L’observation des coïncidences permettra de conclure.\\
Un encadrement des entiers $k$ et $k'$ permettra de limiter cette tâche fastidieuse.\\
Le passage à « $N-2$ multiple commun à 11 et 13 » est beaucoup plus délicat pour un élève de 3\ieme{} ou 2\degre . \\
Les déductions « $N-2$ multiple de 143 », puis « $N$ de la forme $143x+2 $» semblent intuitivement plus simples.

\subsection{Éléments de solution}
Soit $N$ le nombre cherché.\\
L’indication donnée à Julie implique que $N-2$ est multiple commun à 11 et 13. On en déduit que $N-2$ est multiple de 143 
(11 et 13 étant premiers entre eux).\\
$N$ s’écrit sous la forme $143k + 2$ avec $k$ entier naturel.\\
L’indication donnée à Mélanie implique que $N-1$ est multiple commun à 9 et 17. On en déduit que $N-1$ est multiple de 153 
(9 et 17 étant premiers entre eux). \\
$N$ s’écrit sous la forme $153k' + 1$ avec $k'$ entier naturel.\\

On peut remarquer que $N$ ayant 4 chiffres, $k$ est compris entre 7 et 69 et $k'$ est compris entre 7 et 65.\\
L’utilisation d’un tableur permet de déterminer le code cherché : \textbf{6580}.\\

\textbf{Utilisation de niveau 2 :} faire apparaître les entiers du type $143x+2$ et les entiers du type $153x+1$ dans deux colonnes voisines.\\
Rechercher les coïncidences en observant ou en utilisant une mise en forme conditionnelle recensant les valeurs en double.\\
\newpage
\begin{center}
	Extrait d'une feuille de calcul de tableur pour l'utilisation de niveau 2\\
\bigskip	
	\newcolumntype{P}[1]{>{\centering}m{#1}|}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{gray!50}}c|*{4}{P{1,5cm}}}\hline
\rowcolor{gray!50} &\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray!50}}c|}{A} & B&C &D  \tabularnewline \hline
1 & $x$ &$143x+2$ & $153x +1$ &  \tabularnewline \hline
2 &1  &145 &154 &  \tabularnewline \hline
3 & 2 &288 & 307&  \tabularnewline \hline
4 &  3&431 &460 &  \tabularnewline \hline
5 &4  &574 &613 &  \tabularnewline \hline
6 &5  &717 &766 &  \tabularnewline \hline
$\cdots$ & $\cdots$ &$\cdots$ &$\cdots$&  \tabularnewline \hline
43 & 42 &6008 &6427 &  \tabularnewline \hline
44 &43  &6151 &\cellcolor{green}6580 &  \tabularnewline \hline
45 & 44 &6294 &6733 & \tabularnewline \hline
46& 45 &6437 &6886 &  \tabularnewline \hline
47& 46 &\cellcolor{green}6580 &7039 &  \tabularnewline \hline
48& 47 &6723 &7192 &  \tabularnewline \hline

\end{tabular}
\end{center}
\textbf{Utilisation de niveau 1 :} faire apparaître les entiers du type $11x+2$, $13x+2$, $9x+1$, $17x + 1$ dans quatre colonnes voisines. \\
Rechercher les coïncidences en observant ou en utilisant une mise en forme conditionnelle recensant les valeurs en double 
(pour les deux premières colonnes, puis pour les deux autres).\\

\textbf{Une solution experte} (uniquement en Terminale S spécialité) consiste à résoudre en nombres entiers l’équation $153k' - 143k = 1$ et 
de déterminer l’unique couple solution d’entiers compris entre 7 et 70; il s’agit de (46;43).



