\section{Le chat}
\subsection{Le sujet}
Depuis plusieurs jours, Lucas a remarqué un chat abandonné qui erre dans son quartier.\\
Il a observé qu’en rentrant de l'école, il y a 4 chances sur 5 qu'il soit dans l’une des 8 maisons de son lotissement,  sans aucune préférence pour l'une ou pour l'autre.
Aujourd’hui, il a réussi à convaincre ses parents de l'adopter et il part à sa recherche. \\
Il est déjà allé dans 7 maisons sans le trouver.\\

\textbf{Quelles chances a-t-il de le trouver dans la dernière maison du lotissement, en supposant que le chat n’est pas revenu dans l'une des maisons déjà visitées ?}

\subsection{Analyse a priori}
C'est un exercice de probabilités conditionnelles mais, même si cette notion est hors programme en 3\ieme{} et en 2\up{nde}, les élèves ont travaillé la notion d'expérience aléatoire et l'exercice entre dans ce cadre, même s'il est difficile.\\

En effet, ils savent donner la liste de toutes les issues d’une expérience aléatoire et en déduire la probabilité d’un événement. Il faut cependant qu'ils soient capables de bien distinguer les issues de l'univers sur lequel ils vont devoir calculer cette probabilité.\\
Ici, il faut qu'ils aient compris que si Lucas est déjà allé dans 7 maisons et qu'il sait que le chat ne s’y trouve pas, il ne reste plus, avant d’entrer dans la dernière maison, que deux issues qui ne sont pas équiprobables et dont il faut comparer les chances de se réaliser.\\

La  représentation de la situation sous forme d'un arbre paraît assez naturelle mais reste  délicate car les issues ne sont pas équiprobables. 

La représentation sous forme d’un rectangle où les différentes issues seront représentées par des rectangles d’aires proportionnelles à leurs probabilités sera plus explicite, mais il n'est pas certain que  les élèves pensent à l'utiliser.

\subsection{Éléments de solution}
\subsubsection{Sans schéma}
Il y a 4 chances sur 5 que le chat soit dans une des maisons du lotissement donc il y a 1 chance sur 5 qu'il soit en dehors du lotissement.
Le chat n'a aucune préférence lorsqu'il choisit une des maisons du lotissement, donc il y a 1 chance sur 10 qu'il soit dans l'une des maisons du lotissement et 2 chances sur 10 qu'il soit en dehors du lotissement.\\
Le chat a donc 2 fois plus de chance d'être en dehors du lotissement que dans la maison \no$i$ , avec $i$ entier tel que  $1\leqslant i\leqslant 8$.\\

L'expérience aléatoire consiste à entrer dans une maison pour y chercher le chat.\\
Avant que Lucas ne commence à chercher le chat, il y a 9 issues possibles:\\
le chat est dans la maison \no$i$, avec une  probabilité égale à 1/10, et le chat est en dehors du lotissement avec une probabilité égale à 2/10.\\

Mais comme il est déjà allé dans 7 maisons, il sait déjà que le chat ne s’y trouve pas, donc l'expérience aléatoire consiste alors à entrer dans la maison \no8 et elle conduit à 2 issues possibles :\\ $e_1$  (le chat est dans la maison n°8)  ou $e_2$  (le chat est en dehors du lotissement).\\

Ces deux issues ne sont pas équiprobables  car le chat a  2 fois plus de chance d’être en dehors du lotissement que dans la maison \no$i$.\\

On peut écrire : $p(e_2) = 2p(e_1)$.\\

Mais on sait que $p(e_2) + p(e_1) = 1$ donc $p(e_1) = \dfrac{1}{3}$.\\

\textbf{Lucas a donc 1 chance sur 3 de trouver le chat dans la dernière maison.}



\subsubsection{Avec un schéma}
Le partage du rectangle est tel qu'il y a 4 chances sur 5 que le chat soit dans l'une des 8 maisons du lotissement,  sans aucune préférence pour l'une ou pour l'autre.\\
\medskip

\begin{center}
    
   % \setlength{\arrayrulewidth}{1.5pt}
  %  \newcommand{\rcline}[1]{\arrayrulecolor{black}\cline{#1}\arrayrulecolor{black}}
\newcolumntype{H}{>{\centering\arraybackslash}m{3cm}}
\begin{tabular}{|*{4}{H|}c|} \hline
 \cellcolor{lightgray} Maison \no 1     & \cellcolor{lightgray}  Maison \no 2   & \cellcolor{lightgray} Maison \no 3   & \cellcolor{lightgray} Maison \no 4  &\multirow{2}*{Hors lotissement}\\ \hhline{|-|-|-|-||}
 \cellcolor{lightgray} Maison \no 5  & \cellcolor{lightgray} Maison \no 6   & \cellcolor{lightgray} Maison \no 7   &  Maison \no 8     &  \\ \hline     
\end{tabular}
\end{center}

Lucas est déjà entré dans 7 maisons et il sait que le chat n’y est pas (rectangles colorés).\\
En entrant dans la dernière maison, il y a alors deux issues possibles (univers non coloré) :
\begin{itemize}
	\item 	Le chat est dans la dernière maison
	\item   Le chat est en dehors du lotissement
\end{itemize}

Le schéma  montre que le chat a deux fois plus de chance d'être à l'extérieur du lotissement que dans la dernière maison. \\

\textbf{Lucas a donc 1 chance sur 3 de trouver le chat dans la dernière maison}

\subsubsection{Avec les formules de probabilités conditionnelles, pour les professeurs \dots}

On considère les événements suivants :\\
 $A_i$ :  « le chat est dans la maison \no$i$ », avec $i$ entier tel que  $1\leqslant i\leqslant 8$. \\
 $B$ : « le chat n’est pas dans le lotissement ».\\

On sait que $p(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_8) = \dfrac{4}{5}$.\\

Les événements $A_i$  sont incompatibles et équiprobables donc $p(A_i) = \dfrac{1}{8}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{10}$.\\

$p_{\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7}}(A_8) = \dfrac{p({\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7} \cap{A_8}})}{p({\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7}})}$\\

Les événements $A_i$ sont incompatibles, $\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7} \cap{A_8}=A_8$.\\

D'autre part $\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7} = \overline{A_1 \cup A_2 \cup \dots\cup A_7}$.\\

Par conséquent, \\

$p_{\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7}}(A_8) = \dfrac{p({\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7} \cap{A_8}})}{p({\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap \dots \cap\overline{A_7}})} = \dfrac{p(A_8)}{1-p(A_1 \cup A_2 \cup \dots\cup A_7)}= \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}}=\dfrac{1}{3}$.\\

\bigskip
\textbf{Lucas a donc 1 chance sur 3 de trouver le chat dans la dernière maison}
