\section{La Fresque}
\subsection{Le sujet}

Dans la rue couverte du collège Géométrix, un groupe d’élèves a réalisé une fresque.\\

Ils ont d’abord imaginé un motif constitué d’un carré central et de part et d’autre de ce carré central, de trois autres carrés ayant chacun pour dimension la moitié de celui qui le précède.\\

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7][line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
	\clip(-11.5,-4.41) rectangle (11.34,4.28);
	\draw [line width=1.2pt] (-6,2)-- (-4,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-4,0)-- (-6,-2);
	\draw [line width=1.2pt] (-6,-2)-- (-8,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-8,0)-- (-6,2);
	\draw [line width=1.2pt] (-8,0)-- (-9,1);
	\draw [line width=1.2pt] (-9,1)-- (-10,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-10,0)-- (-9,-1);
	\draw [line width=1.2pt] (-9,-1)-- (-8,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-10.5,-0.5)-- (-11,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-11,0)-- (-10.5,0.5);
	\draw [line width=1.2pt] (-10.5,0.5)-- (-10,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-10,0)-- (-10.5,-0.5);
	\draw [line width=1.2pt] (0,4)-- (-4,0);
	\draw [line width=1.2pt] (-4,0)-- (0,-4);
	\draw [line width=1.2pt] (0,-4)-- (4,0);
	\draw [line width=1.2pt] (4,0)-- (0,4);
	\draw [line width=1.2pt] (6,2)-- (4,0);
	\draw [line width=1.2pt] (4,0)-- (6,-2);
	\draw [line width=1.2pt] (6,-2)-- (8,0);
	\draw [line width=1.2pt] (8,0)-- (6,2);
	\draw [line width=1.2pt] (8,0)-- (9,1);
	\draw [line width=1.2pt] (9,1)-- (10,0);
	\draw [line width=1.2pt] (10,0)-- (9,-1);
	\draw [line width=1.2pt] (9,-1)-- (8,0);
	\draw [line width=1.2pt] (10.5,-0.5)-- (11,0);
	\draw [line width=1.2pt] (11,0)-- (10.5,0.5);
	\draw [line width=1.2pt] (10.5,0.5)-- (10,0);
	\draw [line width=1.2pt] (10,0)-- (10.5,-0.5);
	\end{tikzpicture}	
\end{center}
\medskip
Puis ils ont tracé le motif le plus long possible au centre d’un panneau rectangulaire blanc de 5 mètres de longueur par 3 mètres de hauteur de telle sorte que les axes de symétrie du rectangle blanc soient aussi axes de symétrie du motif.\\

Enfin, ils vont peindre leur motif avec deux couches de peinture et après enquête auprès de leurs camarades, ils décident de la peindre en noir.\\

L’intendant leur a donné un bon d’achat de 10 euros pour acheter la peinture de leur choix.\\
Au rayon bricolage de la grande surface la plus proche, ils réfléchissent \dots\\
1 L de peinture JOLITEINTE  couvre 5m$^2$ et le pot de 0,5 L est vendu 3,90 euros.\\
1 L de peinture DECORPLUS couvre 6m$^2$ et le pot de 0,5 L est vendu 4,90 euros.\\

\textbf{Quelle peinture vont-ils choisir ? Expliquez votre démarche.}
\subsection{Analyse a priori}
Le problème consiste à optimiser les dimensions du motif, en respectant les conditions imposées.\\
L’analyse de la configuration géométrique proposée est simple. Le choix du paramètre
permettant de traduire les conditions métriques est laissé au choix de l’élève.\\
Le passage d’un carré à l’autre est réalisé dans un rapport simple, mais attention au rapport des aires.
\subsection{Éléments de solution}
Soit $L$ la longueur totale de la frise et $d$ la longueur de la diagonale du plus petit carré, exprimées en centimètres.\\

$L = 2d + 2 \times 2d + 2 \times 4d + 8d = 22d $\\

$8d \leqslant 300$ et $L \leqslant 500$ \quad donc $d \leqslant \dfrac{500}{22}$\\

La frise sera la plus longue possible en choisissant $d \approx 22,7$ cm.\\

Soit $A$ l’aire totale de la frise et $a$ l’aire du plus petit carré.\\
$A = 2 \times a + 2 \times 4a + 2 \times 16a + 64a = 106a$\\
 

Par découpage du carré selon une diagonale, on peut établir que $a = \dfrac{d^2}{2}$  donc  $A = 53 d^2$.\\


Si $d \approx 22,7$ cm, $A\approx \nombre{27376}$ cm$^2$\\

Pour réaliser les deux couches, ils doivent donc disposer de suffisamment de peinture pour couvrir environ 5,5 m$^2$ . Il leur faudrait donc 3 pots de peinture JOLITEINTE (à 3,90  \euro) ou 2 pots de peinture DECORPLUS (à 4,90 \euro). Mais ils ne peuvent pas dépenser plus de 10 euros.\\

\textbf{Ils achèteront donc 2 pots de peinture DECORPLUS.}

