\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%D\'{e}finition de la mise en page
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\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0 cm}

\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection} --}
%opening
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{15 cm} \begin{center}
\textbf{RALLYE MATH\'{E}MATIQUE DE FRANCHE-COMT\'{E}}

\smallskip
\textbf{Finale du jeudi 13 avril 2006}
\end{center}
 \end{minipage}}
\end{center}

\bigskip
Les classes de Troisi\`{e}me doivent r\'{e}soudre les exercices 1 \`{a} 6.

Les classes de Seconde doivent r\'{e}soudre les exercices 4 \`{a} 9.

La classe doit rendre une seule r\'{e}ponse par exercice trait\'{e} \textbf{en explicitant la d\'{e}marche}.


\bigskip
\begin{tabular}{c p{17 cm}}
\hline
 & \\
\end{tabular}

\subsection{Drapeau}
\parbox{9.1cm}{Le club Lyrale change son embl\`{e}me.

\medskip
Le choix retenu est un drapeau bicolore, de forme rectangulaire, tel que les deux couleurs
repr\'{e}sentent la m\^{e}me aire.

\medskip
Le quadrilat\`{e}re gris\'{e} a un sommet sur chaque c\^{o}t\'{e} du drapeau.}
\hspace{2 cm}
\parbox{5 cm}{\begin{center}
\includegraphics{drapeaufig.1}
\end{center}
}

\begin{center}
\textbf{Compl\'{e}ter les trois mod\`{e}les de drapeaux sur la fiche r\'{e}ponse, conform\'{e}ment aux v{\oe}ux du club.}
\end{center}

\vspace{1 cm}

\subsection{Probl\`{e}me de mat\'{e}riel}
Mon compas vient de rester coinc\'{e} sur une ouverture. Vu son \'{e}tat, je  pourrai tracer au maximum encore trois
cercles avant qu'il ne casse compl\`{e}tement. J'ai une r\`{e}gle dont les graduations sont effac\'{e}es et j'ai
perdu mon \'{e}querre.

\medskip
\begin{center}
\textbf{Comment tracer la perpendiculaire \`{a} la droite \boldmath$(d)$ passant par le point $M$ de $(d)$?}
\end{center}

\medskip
\begin{center}
\includegraphics{materielfig.1}
\end{center}


\textit{Justifier les trac\'{e}s.}

\vspace{1 cm}

\subsection{Croix dans l'espace}
\parbox{9 cm}{Toutes les ar\^{e}tes du solide repr\'{e}sent\'{e} ci-contre mesurent 2,4 cm de longueur.

\medskip
Il s'agit d'en r\'{e}aliser un patron dessin\'{e} enti\`{e}rement sur une feuille de format A4.

\medskip
\textit{Il est inutile de mettre des languettes mais le patron sera d\'{e}coup\'{e} et coll\'{e} par une face sur la
feuille r\'{e}ponse.}}
\hspace{2 cm}
\parbox{6 cm}{\includegraphics[scale = 0.6]{croixfig.1}}



\newpage
\subsection{Piscine}
Accabl\'{e} par la canicule, Fran\c{c}ois r\^{e}ve d'une piscine.

\medskip
Il imagine d'abord une piscine dont la surface serait un rectangle,  de largeur $\ell$  \'{e}gale \`{a}  5 m.

La
plus grande distance qu'il pourrait parcourir en ligne droite \`{a} la surface de l'eau (la diagonale $d$) serait
\'{e}gale \`{a}
13 m. Il calcule alors la longueur $L$ de cette piscine en utilisant  la formule  : $L^2=d^2-l^2$.

\medskip
Il r\^{e}ve ensuite d'une piscine dont la surface serait un  trap\`{e}ze isoc\`{e}le. Les c\^{o}t\'{e}s  non parall\`{e}les
mesureraient aussi 5 m et la diagonale \'{e}galement
13 m.
 Pour conna\^{\i}tre les dimensions des bases $B$ et $b$, il utilise une variante de la formule pr\'{e}c\'{e}dente : $ B \times b =
d^2-l^2$, avec  $\ell$ = 5 m et $d$ = 13 m.

\medskip
\textbf{Les formules utilis\'{e}es sont-elles exactes? Justifier.}

\medskip
S'il veut de plus que $B$ et $b$ soient des nombres entiers, pourra-t-il r\'{e}aliser la piscine de ses r\^{e}ves?

\medskip
\begin{center}
\textbf{Donner toutes les possibilit\'{e}s qui s'offrent \`{a} lui.}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\subsection{Boissons fra\^{\i}ches}
En ce dimanche de juin, Freddy patine sur ses rollers depuis plus de deux heures lorsqu'il aper\c{c}oit un
distributeur de boissons fra\^{\i}ches devant un supermarch\'{e}. La cannette co\^{u}te deux euros. La machine
accepte toutes les pi\`{e}ces de notre monnaie (depuis  2~\EUR{} jusqu'\`{a} 1 cent), mais ne rend pas
la monnaie.

\medskip
En vidant ses poches, Freddy constate avec soulagement qu'il a plus que la somme n\'{e}cessaire et
qu'il pourra donc \'{e}tancher sa soif.

\medskip
Il constate ensuite qu'il ne peut pas faire l'appoint et que sa cannette lui co\^{u}tera plus de deux euros.

\medskip
Il s'aper\c{c}oit enfin qu'il a la malchance d'avoir la somme maximale ne lui permettant pas de faire l'appoint.

\medskip
\textbf{Quelle somme avait-il donc avant d'acheter sa cannette ? Quelle somme lui restera-t-il apr\`{e}s son achat ?}

\vspace{1 cm}
\subsection{Un probl\`{e}me de robinet}
Paul dispose de trois robinets pour remplir son bassin. Plusieurs possibilit\'{e}s s'offrent \`{a} lui :

\medskip
\begin{itemize}
\item En ouvrant le robinet \no 1 pendant 1 h 20 min et le robinet \no 2  pendant 2 h 20
min, il remplit enti\`{e}rement son bassin.
\item En ouvrant le robinet \no 1 pendant 2 h 30 min et le robinet \no 3  pendant 1 h 30
min, il remplit  le bassin \`{a} moiti\'{e}.
\item En ouvrant le robinet \no 2 pendant 1 h, il remplit le bassin au tiers.
\end{itemize}

\medskip
\textbf{S'il ouvre les trois robinets en m\^{e}me temps, au bout de combien de temps le bassin sera-t-il rempli ?
}

\medskip
\textit{On suppose que les d\'{e}bits sont constants et que l'ouverture ou la fermeture d'un robinet ne modifie pas le d\'{e}bit
des autres.}

\newpage
\subsection{M\'{e}t\'{e}o}
Monsieur Andr\'{e}, passionn\'{e} de m\'{e}t\'{e}orologie, r\^{e}ve de statistiques. Ainsi, durant le mois d'octobre dernier,
 il a relev\'{e} les donn\'{e}es pluviom\'{e}triques suivantes :
\begin{itemize}
\item La quantit\'{e} d'eau tomb\'{e}e chaque jour de ce mois est soit 0 mm, soit 1 mm, soit 2 mm, soit 5 mm.
\item Le nombre de jours sans pluie durant octobre est un nombre premier.
\item Le nombre de jours o\`{u} il est tomb\'{e} moins de 2 mm est aussi un nombre premier.
\item Le nombre de jours o\`{u} il est tomb\'{e} moins de 3 mm est aussi un nombre premier.
\item La hauteur d'eau totale, exprim\'{e}e en millim\`{e}tres, tomb\'{e}e en octobre est un nombre impair.
\end{itemize}

\medskip
Le probl\`{e}me a plusieurs solutions. D\'{e}terminez-en une que vous reporterez dans le tableau de la fiche r\'{e}ponse :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline

Hauteur (en mm)
 & \hspace*{1 cm}
0  \hspace*{1 cm}
  &  \hspace*{1 cm}
1
 \hspace*{1 cm}
 &  \hspace*{1 cm}
2
 \hspace*{1 cm}
 &  \hspace*{1 cm}
5
 \hspace*{1 cm}\\
\hline
Nombres de jours
 & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
La hauteur d'eau totale est alors de \dots
\end{center}

\textbf{En fait, dans toutes les solutions, le nombre de jours sans pluie est toujours le m\^{e}me. Pourquoi?}

\subsection{Patron d'un solide}
\parbox{9 cm}{
Pour r\'{e}aliser le solide repr\'{e}sent\'{e} ci-contre en perspective, on a d'abord fabriqu\'{e} cinq pyramides r\'{e}guli\`{e}res de hauteur 4 cm,  dont  la base
est un carr\'{e} de c\^{o}t\'{e} 2 cm.

Puis on a coll\'{e} ces cinq pyramides sur cinq faces d'un cube dont les ar\^{e}tes mesurent 2 cm.}
\hspace{2 cm}
\parbox{6.1cm}{
\includegraphics[scale=0.6]{patronfig.1}
}

\begin{center}
\textbf{R\'{e}aliser un patron de ce solide en justifiant les dimensions.}
\end{center}

\textit{Il est inutile de mettre des languettes mais le patron sera d\'{e}coup\'{e} et coll\'{e} par une face sur la
feuille r\'{e}ponse.}

\subsection{Tour SA PEUR}
Chaque jour, les sapeurs pompiers de Lode doivent faire un parcours d'entra\^{\i}nement physique et technique. Un des
exercices consiste \`{a} progresser sur des poutrelles m\'{e}talliques dispos\'{e}es en r\'{e}seau cubique.

\smallskip
\parbox{8.4cm}{Pour cela, ils disposent de deux tours de six m\`{e}tres de hauteur, dont les sch\'{e}mas sont dispos\'{e}s
ci-contre.

\medskip
Les consignes sont les suivantes :

\begin{itemize}
\item partir de $A$ ;
\item suivre un chemin, le plus court, compos\'{e} d'ar\^{e}tes de \og cubes\fg{ }pour progresser (sens indiqu\'{e} sur
trois ar\^{e}tes de la tour 1) et arriver en $B$.
\end{itemize}

\medskip
Le sapeur Tinmar a pour consigne suppl\'{e}mentaire de r\'{e}aliser chaque jour un chemin diff\'{e}rent, sur l'une des tours.}
\hspace{0.5 cm}
\parbox{3.2cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=0.9]{sapeurfig.1}

\textit{Tour 1}
\end{center}
}
\hspace{0.5 cm}
\parbox{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=0.9]{sapeurfig.2}

\textit{Tour 2}\end{center}}

\medskip
\textbf{Combien de jours lui faudra-t-il pour r\'{e}aliser tous les chemins possibles sur la tour 1? M\^{e}me  question
pour la tour 2.}


\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 1 }
\end{center}

\vspace{1 cm}
\parbox{5 cm}{\begin{center}
\includegraphics{drapeaufig.2}
\end{center}
}

\vspace{2.5 cm}
\parbox{5 cm}{\begin{center}
\includegraphics{drapeaufig.3}
\end{center}
}\hspace{ 2 cm}
\parbox{8 cm}{Un sommet du quadrilat\`{e}re est d\'{e}j\`{a}  plac\'{e}.}

\vspace{2.5 cm}
\parbox{5 cm}{\begin{center}
\includegraphics{drapeaufig.4}
\end{center}
}\hspace{ 2 cm}
\parbox{8 cm}{Deux sommets du quadrilat\`{e}re sont d\'{e}j\`{a} plac\'{e}s.}


\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 2}
\end{center}

\vspace{7 cm}
\begin{center}
\includegraphics{materielfig.1}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no 7 }
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{5 cm}|p{2.5 cm}|p{2.5 cm}|p{2.5 cm}|p{2.5 cm}|}
\hline
\begin{center}
Hauteur  ( en $mm$)
\end{center}

 & \begin{center}
0
\end{center}
  & \begin{center}
1
\end{center}
 & \begin{center}
2
\end{center}
 & \begin{center}
5
\end{center}\\
\hline
\begin{center}
Nombres de jours
\end{center}
 & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{La hauteur d'eau totale est alors de \dots}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\textbf{Pourquoi le nombre de jours sans pluie est toujours le m\^{e}me?}

\newpage
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{9 cm}|p{7 cm}|}
\hline

\smallskip
\'{E}tablissement : &

\smallskip
Ville :\\
\hline

\smallskip
Nom du professeur de math\'{e}matiques: &
\smallskip
Classe : \\
& \textit{Effectif de la classe} :\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1 cm}
\begin{center}
\textbf{Fiche r\'{e}ponse de l'exercice \no }
\end{center}
\end{document}
